Lax Péter matematikája

Lax Péter 1926-ban született Budapesten. 1941-ben a szüleivel elhagyták Magyarországot, az USA-ba költöztek. 1958 óta a New York-i Courant Intézet professzora volt, 1972–1980 között az intézet igazgatója. Számos nemzetközi magas rangú díjat kapott, többek között 1987-ben Wolf-díjat, 1992-ben Steele-díjat és 2005-ben Abel-díjat, mely a matematika Nobel-díjának számít. 1993-ban az MTA tiszteletbeli tagjává választották.

Lax Péter munkássága matematikus körökben elsősorban számos tételből (pl. Lax–Milgram), numerikus eljárásokból (pl. Lax–Friedrichs, Lax–Wendroff), elsőfokú nemlineáris egyenlet megoldásképletéből (Hopf–Lax, Lax–Oleinik), illetve a diszperzív integrálható rendszerek elméletéből származó eljárásokból (pl. Lax-párok) ismert, melyeket róla neveztek el. Az Abel-díjat 2005-ben a parciális differenciálegyenletek területén elért elméleti eredményeiért, ezek alkalmazásáért, illetve a megoldásuk numerikus kiszámításában végzett munkásságáért kapta. Ebben a rövid cikkben a főbb eredményeit szeretném bemutatni.

Hiperbolikus parciális differenciálegyenletek és megmaradási elvek

Lax egyik legfontosabb kutatási területe a nemlineáris hiperbolikus parciális egyenletek és egyenletrendszerek elmélete, illetve numerikus megoldása volt. Alappélda az összenyomható gázok és folyadékok mozgását leíró Euler-egyenletrendszer, mely a tömeg, az impulzus és az energia megmaradását írja le parciális differenciálegyenletként. A hiperbolikus egyenletek és egyenletrendszerek matematikai elmélete, többek között megadott kezdeti érték és peremérték mellett egyértelmű megoldás létezése, máig megoldatlan probléma, bár az alkalmazások szempontjából rendkívül fontos – gondoljunk csak a meteorológiára vagy az aerodinamikára, illetve a rakétatechnikára. Az egyik kulcskérdés a megoldás matematikai definíciója, ugyanis a nemlineáris hiperbolikus egyenletek megoldásai, melyek egyszerű esetben hanghullámok terjedésével írhatók le, a nemlinearitásból következőleg szakadásokhoz vezethetnek. Ezek olyan hullámok, melyek amplitúdója egy törésvonal mentén elveszti folytonosságát. A legismertebb példa erre egy lökéshullám. Ilyenkor, mivel a megoldás klasszikus értelemben nem deriválható, gyenge megoldásokról kell beszélni. Ebben az esetben viszont felmerül egy nehéz probléma: a gyenge megoldások egyértelműsége. A hiperbolikus esetben ugyanis tipikus, hogy a kezdeti érték nem határozza meg a hozzá tartozó gyenge megoldást. Erre klasszikus példák a ritkulási hullámok. Ilyen esetben egy kiválasztási elvre van szükség, hogy a fizikailag releváns megoldást megkapjuk.

Amikor Lax családjával az USA-ba költözött, pár éven belül besorozták a katonasághoz, így Los Alamosba került. Az egyik égető probléma abban az időben a lökéshullámok numerikus szimulációja volt, ez a Manhattan-projektben is fontos szerepet játszott, és Neumann János egyik kedvenc problémájának számított. Az egyik kérdés az volt, hogyan lehet diszkretizálni az egyenletet – tehát a deriváltakat véges differenciákkal helyettesíteni – abban az esetben, ha az elméleti megoldás nem is deriválható, illetve ilyen esetben milyen értelemben közelíti egy numerikus séma az egyenlet megoldását.

Az első erre vonatkozó eredmény Neumann János és Robert Richtmeyr cikke volt, melyben bevezették a mesterséges viszkozitás fogalmát, valamint egy véges differenciaegyenlet-sémát az összenyomható gázegyenletre. Ami egy numerikus séma használhatóságát illeti, két tulajdonság volt fontos amellett, hogy a séma konzisztens legyen, tehát közelítse a parciális differenciálegyenletet: legyen stabil, vagyis kis numerikus hibák a séma során ne nőjenek korlát nélkül, valamint legyen konvergens, tehát a diszkrét megoldás konvergáljon az elméleti megoldáshoz, amennyiben a diszkretizációs paraméter nullához tart. Az ismert volt, hogy ha egy konzisztens séma stabil, akkor konvergens is, de ennek megfordítottja nem volt nyilvánvaló – akkoriban többen úgy gondolták, hogy egy instabil séma is lehet konvergens, ha a numerikus hiba eléggé pici.

Lax első cikkeinek egyikében bebizonyította, hogy a stabilitás ekvivalens a konvergenciával – ez a híres Lax-féle ekvivalenciaelv, melynek bizonyítása a zárt gráf tétel egy elegáns alkalmazásán alapul. A másik fontos eredménye a numerikus módszerek területén az volt, hogy felismerte: amennyiben a parciális differenciálegyenletet mint megmaradási elvet kezeljük, melyben a nemlinearitás a derivált mögött van, és a diszkretizációt is ebben az alakban végezzük, akkor a séma erős konvergenciája megfelel annak, hogy egy gyenge – tehát nem feltétlenül deriválható – megoldást közelítünk. Ezzel a felismeréssel általánosította a Neumann–Richtmeyr-féle sémát, először elsőrendű (Lax–Friedrich), majd később magasabb rendű (Lax–Wendroff) sémával.

Lax egész pályafutása során követte azt az irányelvet, hogy a parciális differenciálegyenletek elmélete és numerikus módszere szorosan kapcsolódik egymáshoz: nemcsak abból a klasszikus szemszögből, mely szerint először be kell bizonyítani egy parciális differenciálegyenletről, hogy korrekt kitűzésű, és ezután lehet numerikus módszerekről beszélni, hanem fordítva is. 2007-ben mondta, abból, hogy csak azért, mert nem tudjuk bizonyítani, hogy az összenyomható Euler-egyenletrendszernek létezik tetszőleges kezdeti értékhez egyértelmű megoldása, még nem következik az, hogy nem tudjuk a megoldást kiszámítani. A numerikus eredmények számos esetben adtak inspirációt elméleti kutatásaihoz.

Az elsőrendű nemlineáris hiperbolikus egyenletek elméletében nagyon fontos, és máig meghatározó eredménye volt, hogy bevezette az entrópia fogalmát mint lehetséges kiválasztási elvet. A kezdeti észrevétel az volt, hogy egy lökéshullám keletkezése információvesztéssel jár. Ennek megfelelően, bár nemlineáris egyenletek megoldásai lökéshullámok keletkezése miatt nem deriválhatóak, általában sokkal egyszerűbb struktúrájuk van, mint a lineáris hiperbolikus egyenletek megoldásainak. Konkrétan Lax azt bizonyította, hogy nemlineáris skaláris egyenletek megoldásoperátora az L1 térben kompakt – ez teljesen eltér a lineáris egyenletek elméletétől, ahol a megoldásoperátor tipikusan egy izometria. Ebből Lax arra következtetett, hogy bizonyos értelemben a nemlineáris egyenletek numerikus megoldása paradox módon egyszerűbb, mint a lineáris egyenleteké, mert kisebb komplexitású megoldáshalmazt kell leképezni egy diszkrét térre, és ehhez kisebb felbontás is elegendő lehet. Visszatérve a kiválasztási elvhez, Lax általánosította Eberhard Hopf megoldásképletét a skaláris megmaradási elvek megoldására (ezt hívjuk manapság Lax–Oleinik-képletnek, és az ehhez szorosan kapcsolódó Hamilton–Jacobi-egyenlet megoldásképletét Hopf–Lax-képletnek), és ezzel igazolni tudta, hogy a mesterséges viszkozitás Neumann–Richtmeyr-féle módszere az egyértelmű entrópiamegoldáshoz konvergál.

Integrálható diszperzív egyenletek elmélete

Az 1950-es évek elején Los Alamosban Neumann János vezetésével intenzíven dolgoztak a MANIAC számítógéppel. Enrico Fermi és Stanislaw Ulam, John Pasta és Mary Tsingou segítségével azt próbálták igazolni, hogy egy nemlineáris másodrendű hullámegyenlet megoldása hosszú idő múlva beáll egy statisztikusan stacionáris állapotba, melyben a teljes energia a különböző rezgésfrekvenciák között egyenletesen oszlik el – más szóval a rendszer ergodikus. Viszont a numerikus eredmény nem igazolta ezt az elvárást, hanem hosszú idő múlva a rendszer látszólag visszatért az eredeti állapotba. Ez nem csak a fizikai intuíciónak mondott ellent, hanem Lax egyik eredményének is, mely szerint az egyenlet elméleti megoldása véges időn belül szingulárissá válik, tehát nem lehet reverzibilis. Ezt a paradoxont később sikerült feloldani, ugyanis felismerték, hogy a szóban forgó hullámegyenlet numerikus diszkretizációja, ha a magasabb rendű tagokat is hozzávesszük, egy transzformációval átalakítható a Korteweg–de Vries- (KdV) egyenlet diszkretizációjává, ami viszont diszperzív, és léteznek szoliton megoldásai. Ezek nagy amplitúdójú nemlineáris hullámok, melyek rendkívül stabilak, például egymáson át tudnak haladni, és puszta létezésük ellentmond annak, hogy a rendszer ergodikus lehetne.

A Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou-kísérlet felfedezése több okból is rendkívül nagy jelentőségű volt. Egyrészt inspiráció volt egy teljesen új kutatási irány, a teljesen integrálható parciális differenciálegyenletek elméletének alakulására, másrészt felhívta a figyelmet arra, hogy a numerikus diszkretizációnál oda kell figyelni a magasabb rangú tagokra, így például nem mindegy, hogy ezek egy mesterséges viszkozitásnak vagy egy mesterséges diszperzív tagnak felelnek-e meg. Lax Péternek mindkét esetben kulcsszerepe volt. Utóbbival kapcsolatban az 1980-as években Lax és Levermore megmutatták, hogy a Burgers-egyenlet diszperzív approximációja – ellentétben a viszkózus approximációval – nem tart az entrópiamegoldáshoz, sőt a Burgers-egyenlet gyenge megoldásához sem, mert a lökéshullámok keletkezésénél létrejövő magas frekvenciájú rezgések megmaradnak, és a határérték csak mint gyenge limesz értelmezhető.

Lax és Levermore munkája lényegesen támaszkodott Gardner–Kruskal–Miura 1967-es eredményeire, ahol a KdV-egyenletet sikerült a kvantummechanikából ismert szóráselmélet segítségével explicit módon megoldani, vagyis integrálni. A szerzők megmutatták, hogy a KdV-egyenlet megoldásfüggvényéhez hozzárendelt Schrödinger-operátor spektruma a KdV dinamikája alatt invariáns. Ez a teljesen meglepő és váratlan felfedezés igazolta a Fermi–Ulam–Pasta–Tsingou-kísérletet. Ám már egy évvel később Lax Péter zseniális módon rátalált ennek a felfedezésnek egy messzemenő általánosítására, mely manapság a teljesen integrálható dinamikai rendszerek alapvető munkájának számít. A cikkben Lax az L Schrödinger-operátorhoz hozzárendelt egy P unitér transzformációt – ezt a két operátort hívjuk a dinamikus rendszer Lax-párjának. A P unitér transzformáció egyrészt megadja az L operátor mozgásegyenletét, másrészt megőrzi L spektrális invariánsait. E cikk nyomán azóta nagyon sok parciális differenciálegyenlethez találtak Lax-párokat, többek között a sine-Gordon-egyenlethez, a harmadfokú nemlineáris Schrödinger-egyenlethez, a Benjamin–Ono-egyenlethez és számos más dinamikus rendszerhez, például a Toda-rácshoz.

Hullámegyenletek szingularitásainak terjedése és szóráselmélete

A klasszikus lineáris hullámegyenlet egyik alapvető tulajdonsága, hogy egy adott pontból kiinduló perturbáció karakterisztikus felületek mentén bikarakterisztikus sugarak irányában terjed, és ugyanígy terjednek egy hullám törés- és szakadásvonalai (tehát szingularitásai) is. Ez a Huygens-elv egyik alakja, és könnyen bizonyítható a Fourier-transzformáció segítségével. Lax az 1950-es években ezt az elvet általánosította nem homogén közegben történő hullámterjedésre, más szóval általános (nem konstans együtthatójú) lineáris hiperbolikus egyenletrendszerek megoldásaira. Ebben az esetben már nem használható a Fourier-transzformáció, helyette Lax bevezette a geometriai akusztika módszerét. Magas frekvenciájú rezgések terjedését a hullámhossz hatványai szerinti aszimptotikus sorba fejtette, és kimutatta, hogy elsőrendű közelítésben a megoldás karakterisztikus felületek mentén terjed, melyek mozgásegyenlete egy eikonal-egyenlet. Az aszimptotikus sorfejtésről pedig bebizonyította, az eredeti egyenlet megoldásához konvergál, egy végtelenül sima korrekciós tagtól eltekintve. Lax tétele és a bizonyítás módszere úttörő munkának számít, ez a cikk volt a híres 1972-es Duistermaat–Hörmander-tétel és általánosabban a modern szemiklasszikus módszerek és Fourier-integráloperátorok elméletének megalapozója.

Lax Péter munkásságának egy másik, az eddigiekhez kapcsolódó iránya a Ralph Phillipsszel kidolgozott absztrakt szóráselmélet volt, mely könyv formájában először 1967-ben, a második kiadás pedig 1989-ben jelent meg. Az eredeti probléma a lineáris hullámegyenlet időben aszimptotikus dinamikája egy olyan euklideszi tartományban, mely egy kompakt tartomány (az akadály) komplementere. Míg a korlátos tartományon vett hullámegyenlet dinamikája könnyen leírható a tartományon értelmezett Laplace-operátor spektrumából, ez nem korlátos tartomány esetében nem lehetséges, mert a Laplace-operátor spektruma folytonos végtelen multiplicitással, és semmi információt nem ad a hullámegyenletre. Az 1960-as években Lax, Phillips és Morawetz bebizonyították, hogy ennek ellenére abban az esetben, ha az akadály bizonyos geometriai feltételeknek eleget tesz (pl. csillagszerű), a hullámegyenlet megoldása időben aszimptotikusan előáll sajátrezgések szuperpozíciójaként, és az aszimptotikus állapothoz a konvergencia exponenciális. A sajátrezgések frekvenciái negatív valós részű komplex számok, és csak az akadálytól függnek – ezeket szórásfrekvenciának hívjuk. A szóráselmélet inverz problémája abból áll, hogy hogyan lehet következtetni az akadály tulajdonságaira a szórásfrekvenciák ismeretéből.

A Lax–Phillips-elmélet a fentiek messzemenő funkcionálanalitikus általánosítása. Itt a dinamikát egy Hilbert-téren definiált unitér operátorok csoportja adja meg, ezenkívül meg van adva két megkülönbeztetett altér, D– és D+, melyek a negatív, illetve pozitív végtelen idő aszimptotikáját reprezentálják (a beérkező, illetve kimenő hullámok terei). Az unitér operátorcsoport spektrális reprezentációját a negatív, illetve pozitív komplex félsíkon analitikus függvények egy osztálya adja meg, a két osztály közötti kapcsolatot pedig egy, a valós tengelyen értelmezett unitér operátor értékű multiplikatív faktor, melyet szórásoperátornak nevezünk. A szórásoperátor pólusai megfelelnek a fent említett szórásfrekvenciáknak.

Az absztrakt Lax–Phillips-formalizmust először Pavlov és Fadeev alkalmazta 1972-ben nemeuklideszi kontextusban, konkrétan a hiperbolikus síkon értelmezett automorf formák spektrálelméletében. Lax és Phillips erre az észrevételre építve kidolgozták a nemeuklideszi hullámegyenlet szóráselméletét, többek között új matematikai megközelítést adva a véges térfogatú, nem kompakt hiperbolikus tereken vett Laplace–Beltrami-operátor spektrálelméletére, új bizonyítást adtak az Eisenstein-sorok meromorf folytatására, és új alakban adták meg a Selberg-féle nyomformulát. A Lax–Phillips-formalizmus ma is fontos eszköznek számít a Laplace–Beltrami-operátor spektrálelméletében nem kompakt sokaságokon.

Lax Péter a 20. század egyik kimagasló matematikusa volt. Több mint fél évszázados munkássága a New York-i Courant Intézet professzoraként meghatározó tényező volt az intézet fejlődésében, elérve, hogy az intézet ez alatt az időszak alatt a nyugati világ egyik matematikai fellegvárává váljon. Ebben fontos volt Lax irányelve a matematika egységét illetőleg. Sokszor hangsúlyozta, hogy nem szabad a matematikát felosztani elméleti (tiszta) és alkalmazott ágakra, hanem fontos a kettő kölcsönös kapcsolatát aktívan ápolni. 2005-ben egy interjúban, amikor az alkalmazott és tiszta matematika kapcsolatáról kérdezték, válaszában Joe Kellert idézte: a tiszta matematika az alkalmazott matematika része. Lenyűgöző szervező- és kutatómunkája mellett Lax Péter nagyon komolyan vette a következő generációk tanítását is. Összesen 55 PhD-diákja volt, közülük sokan maguk is híres professzorokká váltak, többek között Gui-Qiang Chen, Alexandre Chorin, Michael Ghil, Barbara Keyfitz, David Levermore, Jeffrey Rauch és Stephanos Venakides. Több sikeres tankönyvet írt, a Functional Analysis és a Linear Algebra and its applications könyvei klasszikusoknak számítanak. A cikkeit olvasva szembeötlő, hogy mindig a lehető legegyszerűbb és legszebb megoldást vagy bizonyítást igyekezett megtalálni, és mindig képes volt az olvasó számára érthetővé tenni bonyolult elméleteket és bizonyításokat. Munkássága, a matematikához és a matematikai társadalomhoz való viszonya, kutatási eredményeinek a mélysége, mennyisége és hatása a 20. század matematikájára egyedülálló és példaértékű.

Ifj. Székelyhidi László, az MTA külső tagja

A The NewYorkTimes cikke Lax Péterről.

Az Érintő Elektronikus Matematikai Lapokban megjelent cikk Lax Péterről.