A Matematikai Tudományok Osztálya tisztelettel meghívja Krisztin Tibor rendes tag székfoglalójára

mely

Késleltetett differenciálegyenletek dinamikája

címmel kerül megrendezésre

Helyszín: MTA Székház II. em. Nagyterem
Időpont: 2020. február 19. 12.00

A késleltetett differenciálegyenletek olyan jelenségeket modelleznek, amelyek egy adott időpontbeli változása a vizsgált rendszer múltbeli állapotaitól is függ. Az alkalmazások köre egyre szélesebb: különböző fizikai, biológiai, kémiai, mérnöki, társadalomtudományi problémákban fordulnak elő. Annak ellenére, hogy több mint száz éve vizsgálnak ilyen egyenleteket, mélyebb elmélet csak az 1960-as évek után fejlődött ki.
A késleltetett differenciálegyenletek a végtelen dimenziós dinamikus rendszerek egy speciális osztályát alkotják. A létezés, egyértelműség, a kezdeti adatoktól való sima függés viszonylag egyszerűen tárgyalhatók. Explicit formula általában nincs a megoldásokra. Így a kutatások fő iránya az ún. globális attraktor szerkezetének a jellemzése, mivel abból lényegében minden megoldás aszimptotikus viselkedésére kaphatunk információt. A globális attraktor a fázistér egy olyan nem-üres, kompakt, invariáns részhalmaza, amely a fázistér minden korlátos részhalmazát vonzza. A differenciálegyenletre tett viszonylag gyenge feltételek mellett van globális attraktor. A globális attraktor egy lényeges tulajdonsága az, hogy véges dimenziós. Így a végtelen dimenziós dinamikus rendszer vizsgálata a véges dimenziós attraktor vizsgálatára redukálható.
Kutatásaink egyik iránya a globális attraktorok szerkezetének leírása. Egy másik alapvető kérdés az, hogy a generált dinamika (azaz az attraktor szerkezete) hogyan változik az egyenletben előforduló időkésleltetések – mint paraméterek – függvényében. Az utóbbi 60 év intenzív kutatásai ellenére kevés olyan eredmény született, amely bizonyos egyenletosztályra teljes jellemzést adott. Egy ilyen eredményt (amelyben társszerző Jianhong Wu és Hans-Otto Walther) tartalmaz az előadás első része. Monoton, egy időkésleltetést tartalmazó visszacsatolás esetére egy egyensúlyi helyzet instabil halmaza lezártjának a teljes dinamikai, geometriai leírását megadjuk az időkésleltetés függvényében. Ez a nevezetes Chafee–Infante probléma megfelelője (amely egy nemlineáris parabolikus parciális differenciálegyenletre vonatkozik) azzal a különbséggel, hogy a mi eredményünkben a Morse-felbontás komponensei egyensúlyi helyzetek helyett (általában nem hiperbolikus) periodikus pályák.
Az így leírt instabil halmaz a globális attraktor része. Egy nevezetes speciális eset a számelméleti és ökológiai motivációjú Wright-egyenlet, amelyre az a sejtés, hogy az általunk leírt instabil halmaz és a globális attraktor megegyezik. Az 1955-ös nevezetes Wright-sejtés az az eset, amikor az attraktor egyetlen egyensúlyi helyzet. Egy 2014-es (társszerzők Bánhelyi Balász, Csendes Tibor, Arnold Neumaier) eredményünk redukálta a végtelen dimenziós problémát egy megbízható numerikus eljárással kezelhető kérdésre. A módszer J.B. van den Berg és J. Jaquette 2018-as teljes bizonyításának a szerves része. Sőt, a Wright-egyenletre vonatkozó ún. Jones-sejtés igazolásában is fontos a szerepe.
Több egyensúlyi helyzet esetén monoton, egy késleltetést tartalmazó visszacsatolásra további érdekes attraktor-konfigurációk fordulhatnak elő.
Nem monoton visszacsatolás esetén a dinamika bonyolultabb lehet. Az időkésleltetés (mint paraméter) változása akár kaotikus dinamikát is eredményezhet. 1977-ben vezetett be egy nem-monoton, késleltetett visszacsatolású egyenletet M. Mackey és L. Glass egy fiziológiai rendszer modellezésére. Számos analitikus, numerikus eredmény mutatja a dinamika komplexitását, a teljes jellemzéstől azonban nagyon távol vagyunk. A terület egyik fontos nyitott problémája a Mackey–Glass-egyenlet dinamikájának a megértése.

Az előadás második felében a Mackey–Glass-egyenletre mutatunk új eredményeket.

• Bizonyos paraméterértékekre léteznek olyan orbitálisan aszimptotikusan stabil periodikus pályák, amelyek szerkezete bonyolult. Ezeket több numerikus vizsgálat káosz jelenlétével azonosította, tévesen.Különböző periodikus pályákat összekötő pályák létezésére adunk feltételeket.
• Bizonyos paraméterek esetén előfordulnak ún. homoklinikus pályák, amelyek környezetében a dinamika kaotikus lehet.

Az előadás végén nyitott problémákat tárgyalunk: több késleltetés esete, állapotfüggő késleltetések, simasági kérdések.