Lendületesek: Harcos Gergely

Harcos Gergely másodszor nyerte el a Lendület-pályázat támogatását, e második pályázat az első folytatása. A kutatás alapvetően az analitikus számelmélet témakörébe sorolható, azon belül pedig az úgynevezett automorf formák vizsgálatára irányul.

Harcos Gergely

„Elméleti matematikával foglalkozom, és azon belül egy nagyon régi területtel, a számelmélettel. A számelmélet az egész számok tulajdonságait vizsgálja. Minden, ami az egész számok vizsgálatára felhasználható, a számelmélet témakörébe tartozik. Tehát a számelmélet nagyon sokféle matematikai területet ötvöz” – mondja.

A matematika egyik legközpontibb fogalma

Az automorf formák vizsgálata a modern analitikus számelmélet egyik területe. Bár magukat az automorf formákat már a 19. században felfedezték, csak a 20. század 30-as éveiben vált világossá, hogy milyen alapvető jelentőségűek. A múlt század 50-es, 60-as éveitől kezdve pedig abszolút egyértelművé vált, hogy az automorf formák nemcsak a számelmélet, hanem az egész matematika egyik legközpontibb fogalmát jelentik. De mik is azok az automorf formák? E formák a klasszikus szinusz- és koszinuszfüggvények általánosításai. A szinusz- és a koszinuszfüggvények periodikus függvények, de a többi periodikus függvény között kitüntetett a szerepük, hiszen ők speciális differenciálegyenletek megoldásai.

„A szinuszokból és a koszinuszokból kikeverhető az összes periodikus függvény. Tehát ha veszek egy bármilyen periodikusan ismétlődő mennyiségsorozatot (vagyis függvényt), akkor az felbontható (általában végtelen sok) szinusz- és koszinuszfüggvény összegére, ráadásul mindig csak egy ilyen felbontás van – folytatja a matematikus. – Ugyanez magasabb dimenzióban, bonyolultabb terekben is érvényes, tehát ott is az összes periodikus függvényt ki lehet keverni egyetlen módon speciális periodikus függvényekből, amelyek már hullámszerűek. Vagyis a periodikus függvények között kitüntetett szerepet játszanak ezek a periodikus hullámok, és ezeket hívjuk automorf formáknak” – magyarázza Harcos Gergely.

Az automorf formák szoros kapcsolatban állnak a számelmélettel, hiszen az őket jellemző egybevágóság-csoportok egy részét egész számokkal lehet leírni, és így áttételesen ezeknek az automorf formáknak a viselkedése az egész számokról szól. „Egészen hihetetlen, hogy az egész számok sok mély, gyakran már az ókorban felmerült kérdését az automorf formákkal lehet megválaszolni a legjobban – mondja a kutatócsoport-vezető. – Például a 19. században egy sokat vizsgált kérdés volt az, hogy mely egész számok állnak elő kettő, három, négy vagy több négyzetszám összegeként vagy bonyolultabb másodfokú kifejezések által. Vajon hányféleképpen állnak elő e számok, és ha sok előállítás lehetséges, akkor ezek hogyan oszlanak el? Sok ilyen típusú kérdést sikerült megválaszolni automorf formák segítségével, de gyakran csak az utóbbi évtizedekben.”

A matematikus szerint úgy tűnik tehát, hogy az egész számok legmélyebb tulajdonságai szorosan kötődnek az automorf formákhoz. De „ez csak egy nagyon kis része a történetnek, ugyanis itt három terület együttes hatásáról vagy tükröződéséről beszélhetünk. Az automorf formák bizonyos terekhez és azok bizonyos egybevágóság-csoportjaihoz kapcsolódnak. Vagyis az automorf formák a számelmélet mellett értelemszerűen kapcsolódnak a geometriához is – érvel a kutató. – Az egybevágóság-csoportok pedig már algebrai struktúrák. Továbbá az automorf formák hullámfüggvények, ami tipikusan az analízis, vagy ha kicsit messzebbre eltávolodom, a matematikai fizika fogalomkörébe tartozik. Tehát az automorf formák összekötik a számelméletet, a geometriát, az algebrát, az analízist és a matematikai fizikát.”

A kutatócsoport főképpen azt vizsgálja, hogy az automorf formák hogyan használhatók fel az egész számok mély tulajdonságainak megértésére. A pályázatban hangsúlyosan megjelenik az úgynevezett hiperbolikus körprobléma. A klasszikus euklideszi körprobléma arról szól, hogy ha veszünk egy nagy kört, mondjuk az origó körül, akkor abba hány egész koordinátájú rácspont esik. E kérdést már több mint 200 évvel ezelőtt Gauss is vizsgálta. A kör által határolt terület jól közelíti a rácspontok számát, de máig megoldatlan probléma, hogy ez a közelítés mennyire pontos. Ebben is segítenek az automorf formák és hullámfüggvény-tulajdonságaik, de a probléma sokkal nehezebbé válik, ha a hiperbolikus síkon fogalmazzuk meg.

Hiperbolikus körprobléma, prímszámok, Riemann-sejtés

A hiperbolikus körprobléma Harcos Gergely elmondása szerint nagyon releváns a magyar matematikatörténet szempontjából is, hiszen Bolyai János az elsők között dolgozta ki a hiperbolikus geometriát. „A pályázatunk egyik kiemelt kérdésköre a hiperbolikus körprobléma, amiben az automorf formák nagy segítséget jelentenek – mondja a matematikus. – Egy másik kiemelt téma a pályázatunkban a zárt geodetikusok eloszlásának vizsgálata hiperbolikus aritmetikus felületeken. A hiperbolikus, illetve aritmetikus jelzők arra utalnak, hogy a szóban forgó felületet a hiperbolikus síkból kiindulva lehet megkonstruálni egy számelméleti jellegű egybevágóság-csoport felhasználásával. E kérdés fizikai vagy matematikai fizikai relevanciája is jelentős.”

Az automorf formák a prímszámok megértésében is segíthetnek. „A prímszámok rejtélyes objektumok. Mindenki tudja, hogy a prímszámok nem bomlanak föl szorzatra, viszont minden pozitív egész szám egyértelműen fölbontható prímszámok szorzatára. Akárhogyan kezdek el egy pozitív egész számot felbontani, a végén ugyanazokat a prímszámokat kapom meg a sorrendtől eltekintve – mondja Harcos Gergely. – A prímszámok eloszlása bizonyos jól megérthető statisztikai törvényszerűséget mutat. Viszont a pontos eloszlásuk meghatározása már nagyon nehéz, de biztosan összefügg az automorf formákkal. Ahogy valószínűleg a matematika egyik leghíresebb bizonyítatlan sejtése, a Riemann-sejtés bizonyításához is szükség van az automorf formák alkalmazására. Ha meg akarjuk érteni a Riemann-féle zéta-függvényt, illetve hogy miért igaz a Riemann-sejtés (vagyis hogy miért olyan jó a becslésünk a prímszámok eloszlására), akkor jó stratégiának tűnik az automorf L-függvényeket megértenünk. Az automorf L-függvények az automorf formákból származnak, és általánosítják a Riemann-féle zéta-függvényt. Maga a Riemann-sejtés is megfogalmazható az összes automorf L-függvényre. Ezért a Lendület-pályázatban hangsúlyosan megjelenik az automorf L-függvények vizsgálata is.”