Rektifikálható görbékből felépített Besicovitch-halmazok – Csörnyei Marianna külső tag székfoglaló előadása

Csörnyei Marianna külső tag 2020. szeptember 23-án megtartotta akadémiai székfoglalóját. Az előadásról szóló, videóval bővített összefoglaló.

2020. október 9.

Egy síkbeli halmaz rendelkezik a Kakeya-tulajdonsággal, ha folytonosan el lehet mozgatni egy másik pozícióba úgy, hogy a mozgás során tetszőlegesen kis területet fed le. Több mint 100 éves eredmény az, hogy egy szakaszt körbe lehet forgatni tetszőlegesen kis területen, de a közelmúltig ez csak nagyon kevés más halmazról volt ismert.

Csörnyei Marianna előadásában a probléma két különböző verzióját vizsgálta, a geometriai és az analízisverziót. A klasszikus geometriai értelemben az összefüggő zárt halmazok közül csak az egyenes, a kör és részhalmazaik rendelkeznek a Kakeya-tulajdonsággal. Ha az analízisverzióban minden időpillanatban megengedjük egy 0 hosszúságú részhalmaz elhagyását, akkor megmutatjuk, hogy minden rektifikálható halmaz Kakeya-tulajdonságú, sőt a halmazokat nemcsak tetszőlegesen kismértékű területen lehet mozgatni, hanem 0 mértékű Besicovitch-halmazokat is lehet belőlük konstruálni.