Megérteni a minket körülvevő nagy hálózatok matematikáját – interjú Lovász Lászlóval

Lovász László és két kutatótársa, Barabási Albert-László és Jaroslav Nešetřil az Európai Kutatási Tanács (ERC) szinergiapályázatán Beszámolónk a hírről itt olvasható.nyert körülbelül 3 milliárd forintos támogatást a minket körülvevő nagy hálózatok matematikájának feltárására. A magyar-cseh projektet az ERC kiemelt példaként említette a nyertesek között. De vajon hogyan közelíti meg egy matematikus a közösségi hálózatok szerkezetét vagy az idegsejtek kapcsolatait, és mire használhatjuk az eredményeket? Egyebek mellett erről kérdeztük Lovász Lászlót, az MTA elnökét, aki koordinátorként vezeti a projektet.

A pályázati anyag nagy ígérete, hogy közös nevezőre hozza a gráfelméletet és a hálózattudományt. A gráf a matematikusok nyelvén egyszerűen hálózatot jelent, így felmerül a kérdés: egyáltalán mi a különbség? És miért nincs meg az összhang?

Eléggé leegyszerűsítve azt lehet mondani, hogy a hálózattudósokat a gyakorlatban előkerülő, konkrét, általában igen nagy hálózatok tulajdonságai érdeklik. Szeretnének közös jellemzőket találni bennük, és egyszerűen mérhető vagy statisztikailag könnyen megállapítható tulajdonságokat szeretnének kapcsolatba hozni, mondjuk, a hálózat működésével. Ha például ismerjük egy hálózatban a fokszámokat, vagyis hogy egy-egy csúcsnak hány szomszédja van, akkor ebből mi következik arra nézve, hogy a hálózat hogyan fog információt továbbítani, mennyire stabil, vagy mennyire ellenálló bizonyos változtatásokkal szemben.

Mint ha az ismerőseink számából következtethetnénk arra, hogyan terjednek a Facebookon az álhírek?

Az álhírek terjedése valóban ilyen jellemző kérdés, de a hálózattudós éppúgy vizsgálja azt a problémát is, hogy miként lehet kontrollálni egy hálózatot. Tehát ha például valaki álhíreket akar terjeszteni a Facebookon, akkor ezt hol kezdje – hol nyúljon bele. E ponton fontos hozzátenni, hogy egy ilyen vizsgálat nem okvetlenül azt jelenti, hogy szeretjük a gyakorlati következményeit.

Lovász László a születésnapja tiszteletére rendezett konferencián az ELTE Gólyavár előadótermében Forrás: mta.hu/Szigeti Tamás

Miben tér el ettől a matematikusok felségterületének tartott gráfelmélet?

Alapvetően azt hiszem, nem a fogalomban van különbség, hanem abban, hogy a gráfelmélet mint matematikai terület fejlődését saját belső logikája hajtotta, és – el kell mondani – nagyon jó irányba hajtotta. Aztán persze a gráfelmélet is közel került az alkalmazásokhoz, főleg a számítógépek elterjedésével, hiszen gráfokkal lehet leírni azt, hogy például egy algoritmus futása során milyen bitek honnan hova mozognak, milyen műveleteket kell elvégezni, no és persze az internetet is egy gráffal lehet leírni. De akár egy chip hálózatának tervezése vagy egy bonyolult úthálózat működésének analízise végeredményben azon múlott, hogy a gráfelmélet belső logikája eljutott olyan kérdésekhez, melyek ezeken a területeken is fontosak voltak.

Saját jelentős eredményei még a gráfelmélet belső logikájából következtek, vagy már máshonnan is érkezett az inspiráció?

Azt mondanám, hogy is-is. Amikor a gráfelmélet a 20. század közepén elkezdett kibontakozni, akkor ezt a fejlődést nagymértékben Erdős Pál munkája hajtotta. Neki az volt a filozófiája, hogy ha egy ilyen kérdéskörnél egy nagyon egyszerű kérdésre nem tudunk válaszolni, akkor az mindenképpen megérdemli, hogy kikutassuk, akár látszik a gyakorlati alkalmazása, akár nem. Olyan kérdésekről volt szó, amelyekre bárki, aki a szakmában kicsit is jártas, azt mondaná: meglepő, hogy ezt nem tudjuk megválaszolni. Márpedig nagyon sok ilyen egyszerű kérdés volt a gráfelméletben akkoriban. Azután, talán az 1970-es évek közepén kezdtem megérteni, hogy ugyanakkor nagyon izgalmas kérdések adódnak a gyakorlati alkalmazásokból is – de azért persze én matematikai szempontból, matematikusi hozzáállással viszonyultam hozzájuk.

Van itt egy módszertani különbség is: a matematikus tételt és egzakt bizonyítást szeretne, a hálózattudósok viszont inkább egyfajta természettudományos módszerrel dolgoznak. Ha megfigyelnek valamit, és az több példán is teljesül, akkor ott felismerik a szabályszerűséget, de gyakran nem törekednek rá, hogy ennek a matematikai bizonyítását is megadják. A két megközelítést jó lenne összekapcsolni, hiszen egy bizonyítás, egy matematikai megközelítés olyan kapcsolatokat tár fel, amelyek a közvetlen megfigyelésből nem látszanak, vagy nem vehetők észre, és megfordítva: gyakran a közvetlen megfigyelés olyan összefüggésekre világít rá, amelyeknek pontos matematikai megfogalmazása érdekes matematikai kutatási témákhoz vezet el.

Íme, egy modern kori nagy hálózat: az Oxford Internet Institute Twitter-kapcsolati hálózatának részlete Forrás: University of Oxford/Oxford Internet Institute - CC-BY-SA

Hogyan lehet egy hálózatot megfigyelni, és miért van erre egyáltalán szükség?

Nagyon sokszor egy hálózatot nem ismerünk igazán – egyszerűen a mérete vagy bizonyos részeinek hozzáférhetetlensége miatt a hálózatnak csak bizonyos részleteit tudjuk megfigyelni. Például egy sok millió embere kiterjedő társadalmi hálózat tulajdonságait nem tudjuk teljes egészében feltérképezni, mert mire végeznénk, addigra máshol már megváltozik, és emiatt gyakran csak közelítő statisztikai tényeket tudunk róla. De említhetném a hálózattudomány Szent Grálját, az emberi agy feltérképezését, az idegsejtek hálózatának megértését – ettől még eléggé messze vagyunk, ugyanakkor a rendszer bizonyos részeit, néhány sejt csatlakozási módját és szomszédságát fel lehet deríteni.

De ha ismerjük is az egész hálózatot, továbbra is fennáll a kérdés, hogy ebből hogyan tudunk például arra következtetni, hogy milyen gyorsan fog elterjedni rajta egy információ, betegség, vagy mennyire sérülékeny, mennyire érzékeny arra, hogy a hálózat bizonyos részei megsemmisülnek. Utóbbi nyilván nagyon fontos információs hálózatoknál, de számos katonai és polgári alkalmazásnál is alapvető kérdés, hogy mennyire robusztus a hálózat, és ezt a robusztusságot hogyan lehet meghatározni.

A társadalomtudományokban már régen észrevettek egy érdekes jelenséget: a való életbeli hálózatoknál a szomszédok számának eloszlása nem olyan, mint a matematikusok által vizsgált legegyszerűbb modellben, az ún. Erdős–Rényi-féle véletlen gráfokban. A való életbeli hálózatokban ugyanis a kapcsolatok nem egymástól függetlenül, véletlenszerűen jönnek létre, hanem ún. skálafüggetlen vagy „vastag farkú” eloszlást mutatnak, vagyis értékeik nem csak az átlagérték környékén csoportosulnak. A gyakorlatban ez úgy fest, hogy egy olyan nagy Erdős–Rényi-gráfban, amelyben a szomszédok száma átlagosan 100, a legtöbb csúcsnál ez a szám 100 körül lenne, és 150 felett szinte sehol sem volna. A valós esetekben azonban a szomszédok számai nem koncentrálódnak ennyire az átlagérték körül, még olyan csúcsból is elég sokat találunk, amelynek 200 vagy akár 300 szomszédja is van.

Erdős Pál (balra) és Rényi Alfréd Forrás: networksciencebook.com

Matematikailag megközelíthető ez a megfigyelés?

Barabási Albert-László hálózattudományról írt könyve angolul elérhető ezen a honlapon.Barabási Albert-László és Albert Réka készített egy olyan matematikai modellt, amely nagyon egyszerű alapelvek mellett visszaadta ezt a jelenséget. Nem volt másra szükség, mint egy véletlenszerűen növekedő hálózatra, egyetlen apró kiegészítéssel: a növekedés során érvényesül egy „sznobizmusnak” nevezett szabályszerűség, mely szerint az új kapcsolatok általában a már sok kapcsolattal rendelkező csúcsok felé irányulnak, vagyis ha egy új szereplő jelenik meg, az igyekszik kapcsolatba lépni a már sok kapcsolatban levő szereplőkkel. Ez a modell pedig nagyszerűen reprodukálja a megfigyelt jelenséget: elég sokan lesznek olyanok, akiknek nagyon sok kapcsolatuk van.

Tehát a való világban létező hálózatokra sokkal inkább ez jellemző, mint az, ahogy a matematikusok a véletlen nagy hálózatokat elképzelték.

A matematikusok nem tettek mást, mint használták az általuk ismert legegyszerűbb modellt. Matematikai szempontból az Erdős–Rényi-modell persze nagyon fontos volt, mert elindított egy új területet, most pedig nem történt más, mint hogy kiderült: ezt a modellt még finomítani kell ahhoz, hogy jobban leírja a való életet. De ha már a szomszédok száma ennyi érdekességet tartogat, akkor ez felveti azt a kérdést, vajon hogyan kapcsolódhat ez a tulajdonság a hálózat más jellemzőihez, például ahhoz, hogy hogyan kontrollálható, vagy mennyire robusztus a hálózat. Érdekes kérdés az is, hogy a való életbeli nagy hálózatoknak mely tulajdonságai közösek. Sok megfigyelés van e téren, ezt próbáljuk megérteni.

A helyzet számomra azt a kort idézi, amikor a termodinamikát elkezdték megérteni, és rájöttek, hogy például a hőmérséklet, a nyomás, a térfogat fontos jellemzők – ezekről a nagy hálózatokról most kezdünk el ilyeneket megtudni?

Valamilyen értelemben igen. De itt jön a talán legfontosabb újdonság a mostani vizsgálódásainkban. Eddig az eredmények többsége statikus hálózatokra vonatkozott. Egy konkrét hálózatot nézünk, és annak a gráfelméleti tulajdonságait próbáljuk kapcsolatba hozni egyebekkel.

Statikus hálózat, mint például egy áramkör?

Például egy áramkör, de bármelyik hálózatnak lehet egy pillanatfelvételét nézni. A legtöbb hálózat azonban ennél gazdagabb, és van rajta valamilyen dinamika: áramlik rajta valami, körbemegy rajta valami valamilyen szabályok szerint, bolyong rajta valami…

...a Facebookon terjednek a hírek…

...az utcákon mennek az autók, vagy az agyban működnek az idegsejtek. Tehát gyakorlatilag minden hálózaton van még valamilyen plusz is. Néha ez alatt maga a hálózat nem változik, de nagyon gyakran maga a hálózat is függ attól, hogy milyen folyamatok zajlanak rajta. Tehát a hálózaton lehet egy dinamika, de maga a hálózat is változhat – és a két jelenség akár együttesen, egymásra hatva is felléphet.

Az internet hálózatának szerkezete, mely jól mutatja az ún. skálafüggetlen eloszlás egyik jellemzőjét, a nagy számú kapcsolattal rendelkező csomópontok kialakulását Forrás: networksciencebook.com/CAIDA

Ilyen az agyban ismert jelenség is, amikor a gyakran együtt tüzelő idegsejtek között a fizikai kapcsolat is erősödik.

Ez egy jó példa, de ha hosszabb időn át megfigyelünk egy közlekedési hálózatot, az útjavítások, az új utak is valamiképpen függvényei annak, hogy milyen közlekedés van az úthálózaton. Vagy egy társadalmi hálózatban: akiknek sok közös ismerősük van, azok előbb-utóbb maguk is összeismerkednek. Ezeket a jelenségeket szeretnénk vizsgálni.

Teljesen az alapokról indulnak?

Létezik néhány speciális modell, amelyet már alaposan kivizsgáltak. Ilyen például a statisztikus fizikában, amikor egy atomokból álló hálózatot vizsgálnak, amelyben az atomoknak állapotuk is van. Jól ismert példa a mágnesesség: itt az atomok állapotát az jelenti, hogy merre mutat a spinjük. Ha az atomokból álló hálózatot hevítik, akkor elveszíti a mágnesességét, ahogy a spinek hirtelen elkezdenek az addig rendezettből egy rendezetlen állapotba átmenni; ha pedig lehűl, és valamilyen mágneses tér elrendezi őket, akkor abban maradnak. Itt természetszerűleg egy dinamikus folyamat zajlik, amiről a fizikusok igen sokat megtudtak. A matematikában eléggé kivizsgálták a gráfokon történő véletlen bolyongást, ami kapcsolódik a fizikából ismert Brown-mozgáshoz. Ennek is nagy elmélete van. Ezeken kívül van még néhány speciális eset, amit kivizsgáltunk, magam is részt vettem ilyen kutatásban. Azonban nagyon sokféle dinamikát el lehet képzelni, a matematikai kutatás pedig elakadt ott, hogy: „Jó-jó, de hát most miért pont ezt nézzük, miért nem valami mást?”

Mit jelent itt az a fogalom, hogy „kivizsgálni”?

Megfigyeltünk néhány jelenséget, amelyről kiderült, hogy a gráfokban folyó dinamikának speciális tulajdonságai – ezeket szeretnénk megérteni. Az egyik például a korábban már többször említett diffúzió – ez egy hír vagy pletyka a Facebookon, egy betegség, egy vallás vagy egy technikai felfedezés elterjedése. A másik ilyen jelenség a katasztrófák, fizikai nyelven a nagyon gyors fázisátmenetek: egy közlekedési dugó kialakulása, egy áramkimaradás túlterhelés miatt, amikor pillanatok alatt végiggördül valamilyen rossz hatás; ilyen az epilepsziás roham is az emberi agyban. Ezeket is meg kellene érteni megfelelő általános matematikai modellekkel. Ebben sokat segít, ha a hálózattudósok a saját módszereikkel megvizsgálják azokat a hálózatokat, ahol ilyen jelenségek végbemennek. Elemzéseikből azután matematikai problémákat próbálunk közösen kihüvelyezni, amelyeket végül matematikai módszerekkel közelíthetünk meg.

Barabási Albert-László a World Economic Forum Mastering Complexity című konferenciáján Forrás: Flickr/World Economic Forum - CC-BY-SA

Hogyan képzeljük el ezt a közös munkát?

Gyakran előfordul, hogy a hálózattudósok megfigyelnek valamit, ami azonban matematikailag nem önthető pontos formába. Ilyenkor viszont a matematikusnak nem az a dolga, hogy rámutasson a pontatlanságokra – jobb, ha inkább felteszi a kérdést: mégis miért működik a dolog? Elképzelhető például, hogy a gyakorlatban előforduló hálózatoknak van valami olyan tulajdonságuk, ami megmagyarázza a jelenséget.

A hálózatok gyakran csak bizonyos speciális esetben kezelhetők nehezen. Nem ritka, hogy egy alkalmazott matematikai problémában fontos szerepet játszó algoritmushoz egy matematikus konstruál egy példát arra, hogy az algoritmus futása esetleg nagyon sokáig tarthat. A gyakorlatban ugyanakkor az algoritmus mégis mindig rövid idő alatt eredményre jut – ilyen volt az ún. szimplexmódszer a lineáris programozásnál. Erre születtek különböző matematikai magyarázatok, amelyek lényegében megpróbálták azt megragadni, hogy csak elfajult, nagyon speciális esetekben van ez a baj. Hasonló jelenségeket például a hálózatok kontrollálásának matematikájában is látunk: bizonyos eredmények eléggé speciális, elfajult esetekben nem működnek – úgy tűnik viszont, hogy a gyakorlatban létező hálózatok nem mutatják ezeket a nagyon előnytelen, speciális tulajdonságokat, hanem átlagos tulajdonságúak, és ilyenkor érvényesek ezek a matematikai eredmények.

Induljunk most el egy kicsit a másik oldalról: mit adtak a matematika saját fejlődése során felbukkanó nagy gráfok a hálózattudománynak?

Szemerédi Endre az Abel-díjjal Forrás: abelprize.no

A matematikában az ún. sűrű gráfokról vannak igen mélyreható ismereteink. Olyan hálózatokról, melyekben egy tipikus csúcs a többi csúcsnak egy pozitív hányadával össze van kötve. Tehát egy milliárdos hálózat esetén minden csúcs egymilliárd vagy félmilliárd másikkal van összekötve. A gyakorlatban kevés ilyen hálózat van, és leírásuk általában nehéz feladat, matematikai szempontból viszont igen érdekesek. Megismerésükhöz kulcsfontosságú eszközt ad az 1970-es évek közepén született Szemerédi-féle regularitási lemma, melynek fontosságát az is jól mutatja, hogy hangsúlyosan szerepel Szemerédi Endre Abel-díjának indoklásában. Ez egy igen alapvető módszer arra, hogy egy nagyon nagy, sűrű hálózatot jól közelítsünk egyszerűen leírható hálózatokkal. Szemerédi módszerének hatalmas irodalma és rengeteg alkalmazása van, tulajdonképpen egy tudományos elvvé nőtte ki magát.

Mondhatjuk azt, hogy ez a gráfelmélet természetes folyománya.

Valóban, ezt a felismerést még nem a gyakorlatból érkezett hálózatok hozták, hanem a matematikán belüli gráfok. A kérdés egy számelméleti problémából adódott, tehát valamilyen értelemben alkalmazás, de mégiscsak matematikán belüli alkalmazás. Később, a 2000-es évek elején kidolgoztuk néhányan a gráfok határérték-elméletét, melyről azután kiderült, hogy szorosan összefügg a regularitási lemmával. Ez szintén egy igen erős matematikai eszközt adott a sűrű gráfok megértéséhez.

A határérték itt azt jelenti, hogy nagyon nagy gráfokból valamiképpen végtelen nagy lesz?

Azt a példát szoktam felhozni, hogy egy fémdarabról pontosan tudjuk, hogy tulajdonképpen egy nagyon nagy hálózat. Amikor azonban egy mérnök ránéz egy fémdarabra, és mondjuk, egy híd teherbírását számolja, akkor azt a fémet nem atomokból álló hálózatnak tekinti. Sokkal könnyebb ugyanis úgy számolni vele, ha folytonos anyagként gondol rá, amire ennek megfelelően differenciálegyenleteket lehet felírni a nyomás, a hőmérséklet, a feszültségek és más jellemzők figyelembevételével. A mi elméletünk hasonló elvet valósít meg a sűrű gráfok esetén: ha nagyon nagyok, akkor kezelhetőek folytonos „masszaként”.

A Facebook azonban nem tűnik matematikai értelemben sűrűnek, ahogy a legtöbb hétköznapi hálózat sem.

A Facebook valószínűleg közelebb áll az ún. ritka gráfokhoz, melyeknél meg lehet mondani, hogy egy csúcsnak legfeljebb mondjuk 100 vagy 1000 szomszédja van (és ez a szám nem arányos a hálózat méretével). Ezeknek a ritka gráfoknak is van valamiféle határérték-elméletük, azonban ez még koránt sincs annyira kidolgozva, mint a sűrűek esetében. A nagy kérdés, hogy a regularitási lemmának vajon van-e olyan változata, amely lehetővé teszi, hogy egy nagyon nagy, de ritka hálózatot kevés adattal megadható hálózattal közelítsünk. Sokkal bonyolultabb a kérdés, mint sűrű gráfoknál: még az sem világos, mit jelent a „közelítés”, vagy az, hogy „kevés adat”, az egész kérdéskör nyitott.

Egy matematikus számára ezek a ritka gráfok „sokfélébbek”, mint a sűrűek?

Mára világossá vált, hogy a sűrű gráfok elmélete valójában olyasfajta egyszerű eset, amelynek megértése fontos irányokat jelöl ki, de önmagában nem elegendő. Annyit biztosan tudunk, hogy a ritka gráfoknak sokkal gazdagabb szerkezetük van, mint a sűrűeknek.

Egyszerűen vegyük egy négyzetrácsnak egy nagy darabját, majd egyre nagyobb és nagyobb darabot. Nos, ez most hova tart? Hogyan gondolkozzunk, hogy a végességét már elhanyagoljuk? Az első természetes gondolat, hogy a végtelen rácshoz tart. Egy statisztikus fizikus vagy mérnök, akinek ez a rács egy kristályszerkezet, azonban úgy láthatja, hogy a rács egyre sűrűbb és sűrűbb lesz, és végül egy folytonos anyaggal kitöltött négyzethez tart. Melyik az igazi? Nincs igazi! Mind a kettő teljesen jogosan vizsgálható és teljesen jogosan alkalmazható módszer. És akkor persze felvetődik, hogy a kettőn kívül még milyen skálákon, milyen nagyításban érdemes vizsgálni. A négyzetrácsnak azt hiszem, mindössze ez két megközelítési módja van, de egy bonyolult hálózatnak esetleg tényleg nagyon különböző skálákon lehetnek érdekes tulajdonságai, amelyek majdhogynem függetlenek egymástól. Ez az egész kérdéskör nyitott – és akkor még nem beszéltünk a hálózaton zajló dinamikáról: még nem bolyongunk ezen a rácson, nincs rajta közlekedés.

Azt hiszem azonban, hogy a dolgok nem csak egy irányban haladnak – tehát ha a dinamikát elkezdjük megérteni, akkor abból jobban megértjük magát a struktúrát is. Egy nagyon egyszerű példával: ha egy hálózaton nagyon lassan terjed valamilyen információ vagy fertőzés, akkor valószínű, hogy a hálózat nem nagyon összefüggő. Ha viszont nagyon gyorsan terjed, akkor egy igen erősen összefüggő hálózatról van szó. A struktúra és a dinamika közti ilyen és ehhez hasonló kapcsolatok vizsgálata is fontos része a kutatási terveinknek.

A projekt matematikusok és hálózattudósok közös gondolkodásáról szól. De ismerjük-e eléggé a bennünket körülvevő nagy hálózatokat, hogy mindjárt egy egységes elmélet nyomába eredjünk?

Annak megértéséhez, hogy mit is jelentenek ezek a hálózatok, külső szakértők bevonására is szükség van. Ahhoz például, hogy megértsük, egy sejten belüli fehérjék egymásra hatásából előálló hálózat tulajdonképpen mit is jelent, fel kell mérnünk, hogy mi az, amit biztosan tudunk, és mi az, amit nem, jellemzően hogyan mérik a kutatók a hálózat tulajdonságait, vagy éppen miben tér el ez a hálózat különböző élőlényeknél. De felhozhatnánk példaként az agykutatást is. Nem vitás, hogy az emberi agy egy hatalmas hálózat, de hogy az agyra vonatkozó biológiai eredményeket hogyan lehet először hálózati nyelvre lefordítani, és aztán a hálózatok nyelve segítségével matematikailag megközelíteni, ehhez első lépésben feltétlenül szükség van olyanokra, akik értik a biológiai kísérletek lényegét.

Megkerestek már ilyen kutatókat, szakértőket?

Beszéltünk például Portréfilm Buzsáki GyörgyrőlBuzsáki Györggyel, az Amerikában élő neves agykutatóval (Freund Tamással és Somogyi Péterrel együtt ő is Agy díjban részesült 2011-ben – G. B.). Vele hosszú ideje kapcsolatban állunk, sőt korábban az is felmerült, hogy résztvevőként is kapcsolódna a projekthez – végül azonban nem tudta vállalni, hogy a pályázati feltételeknek megfelelő rendszerességgel hazalátogasson. Külső támogatóként azonban szeretnénk a tudását igénybe venni. Itthon az aggyal kapcsolatos kérdésekben számítunk az MTA Kísérleti Orvostudományi Kutatóintézet kutatóinak tudására. Persze nehéz előre látni, hogy milyen szintig, milyen mélységig tudunk valakit bevonni, hiszen ez nagyban függ attól, hogy milyen kérdések merülnek fel. Még nem látjuk tisztán, mennyire kell például egy idegsejt működésének a részleteit megismerni, és a biológiailag megfigyelt jelenségek közül mi az, amit a kutatók, akik egész életükben ezzel foglalkoznak, jelentősnek tartanak, és mi az, amit kevésbé jelentősnek. Mi az, amit meg tudnak magyarázni, és mi az, ami még számukra is kérdés. Persze az agy „csak” egy a fontos nagy hálózatok közül, nyilván hasonló szakértői segítségre lesz szükség az internet vagy a társadalmi hálózatok területén.

Ahogy tehát haladnak a kutatások, látszik majd, hogy mely területekről érdemes még szakértőket bevonni.

Valószínűleg azzal fogjuk kezdeni, hogy megpróbálunk valamiféle „érdekes hálózatok könyvtárát” kialakítani. A szakértők pedig már itt is fontos szerepet kapnak, hiszen egyes hálózatokról hamar kiderülhet, hogy érdekesek a kutatás szempontjából, de egyszerűen nincs még annyi mérés, megfigyelés vagy kísérlet, hogy már matematikai eszközökkel kezelni lehetne őket – a társadalmi hálózatok között biztosan vannak ilyenek. Lehetséges, hogy ilyenkor a mi kérdéseink bizonyulhatnak hasznosnak azok számára, akik ezekkel a konkrét hálózatokkal foglalkoznak.

Jaroslav Nešetřil Forrás: mff.cuni.cz

Hogyan dolgoznak majd együtt a kutatócsoportok?

A projekt indulásakor, 2019 nyár eleje környékén szeretnénk a tágabb értelemben vett résztvevők számára egy konferenciát, hosszabb összejövetelt szervezni, ahol alaposabban egyeztethetjük a terveket. Fontosnak tartom, hogy a különböző iskolák mélyebben megismerjék egymás munkáját. Főként a fiatalabb kutatók részére szeretnénk oktatást szervezni, hogy elsajátítsák a nagy hálózatok már kiépített matematikai elméletét, hiszen ezt az elméletet szeretnénk továbbfejleszteni a statikus hálózatoktól többek között a dinamikus hálózatok irányába.

Emellett mélyebben meg kell ismerni egymás kutatási módszereit – ezekről érezzük, hogy számunkra is érdekes kutatási eredményeket hoznak, de én mint matematikus nem annyira tudom, hogy mit és hogyan vizsgál egy hálózattudós, amikor nekifog egy hálózat vizsgálatának, milyen célokat tűz ki, és a konkrét alkalmazás területén milyen eredményeket várhat. De gondolom hasonlóan vannak ezzel a hálózattudósok is: nyilván tudnak róla, hogy mi, matematikusok kialakítottunk bizonyos elméleteket a nagy hálózatokról és azok struktúrájáról, de az ő részükről is fontos, hogy ezeket gyakorlati, felhasználói szinten is megértsék. Létrehozzuk tehát az „érdekes hálózatok” gyűjteményét, mélyebben megismerjük egymás munkáját, és összeállítunk egy dinamikusan változó problémalistát – itt kapnak helyet azok a kisebb és nagyobb kérdések, amelyek a kutatókat foglalkoztatják, illetve amelyek megválaszolására szükség lenne a továbblépéshez.

Egy ízig-vérig közép-európai projektről van szó – várható volt, hogy éppen ide érkezik a támogatás a hálózatok matematikájának kutatására?

Történetileg Magyarországon a gráfelméletnek komoly hagyományai vannak. Kőnig Dénes írta a témában az első és évtizedekig egyedüli monográfiát a világon, de Erdős Pál szerepe is jelentős. A csehszlovák iskola kicsit más alapokon jött létre, de azért elég hamar együttműködés alakult ki Magyarország és Csehszlovákia között, ami nyilván azt is jelenti, hogy az egyik hatott a másikra, kicserélődtek a gondolatok. Talán hozzájárul ehhez az is, hogy kis országban jobban kell koncentrálódnia a kutatók érdeklődésének, hiszen a terület sikeréhez szükség van bizonyos kritikus tömegre.

A másik fontos szál érdekes módon a fizikából jött, abból a felismerésből, hogy a fizikai rendszerek megértéséhez is szükség van a hálózatok szerkezetének ismeretére. A fizikusok pedig – akik szeretik a tudomány alapjait kutatni – rájöttek, hogy igazából mindegy, hogy biológiai hálózatokról, az internetről vagy másról van szó – ezek egyaránt a tudomány alapjaihoz tartoznak: a való világ megértéséhez nem lehet elmenni a hálózatok mellett. Így hát a fizikusok elkezdtek gondolkodni a különböző internetmodelleken és hasonlókon…

Ez az irány pedig erős idehaza, ha jól gondolom…

Valóban, elég csak Barabási Albert-László úttörő szerepét kiemelni. Egyébként Barabásiék munkája, és a kilencvenes évek végén megjelent internetmodelljük fontos szerepet játszott abban, hogy kutatótársaimmal elkezdtünk a nagy gráfokon gondolkodni. A Microsoftnál, amely érthető módon érdekelt volt az internetmodellek és hasonlók fejlesztésében, felmerült ugyanis egy olyan kérdés, hogy van-e a nagy számok törvényének valami megfelelője, ha nem sok számról, hanem egy nagy hálózatról van szó. Tulajdonképpen ebből alakult ki a gráfok határérték-elmélete.

Ez volt az első, még nem személyes kapcsolatunk Barabásival, utána pedig, különösen mióta hazajöttem Magyarországra, rendszeresen találkoztunk, és formálódni kezdett a szinergia elképzelése.

Nešetřil professzorral már jó négy évtizede ismerjük egymást és dolgozunk együtt. Ő a matematikán belül egy kissé más szemléletet képvisel, és számtalanszor bebizonyosodott, hogy ötleteink jól kiegészítik egymást.

Az ERC-pályázatoknál a vezető kutatók rendelkeznek a támogatással, azonban legalább ennyire fontos az is, hogy jó befogadó intézményt és tehetséges kutatótársakat találjanak.

Nem vállaltam volna el ezt a projektet, ha nem volnának elsősorban a projektet befogadó Rényi Intézetben, de az ELTE-n is olyan kutatók, akiknek az együttműködésére számíthatok. A Rényiben Szegedy Balázzsal dolgozunk legrégebben, 2003 óta együtt ezen a kérdéskörön, számos közös cikkünk van, nagyon jól megértjük egymást. Már a Microsoftnál is posztdoktori kutatóként dolgozott a vezetésem alatt. A témába bekapcsolódott Abért Miklós is, aki az algebra világából hozott szemlélettel jelentősen hozzájárult a nagy hálózatok matematikájának kialakításához. Fiatalabb kollégáim közül Csóka Endre volt doktoranduszom nevét említeném, aki Amerikában Barabási Albert-László csoportjának munkájában is részt vett. Ők azok, akikkel a legközvetlenebb kapcsolatban állok, de reményeim szerint más volt tanítványaim is bekapcsolódnak. Örülök, hogy szép számban akadnak fiatal kutatók, akiknek a munkája ígéretes lehetőségeket tartogat.

Az Synergy Grant híres arról, hogy még az Európai Kutatási Tanács más pályázatainál is kisebb a nyertes projektek aránya. A 2009-ben elnyert ERC Advanced Grant után okozott-e meglepetéseket a felkészülés?

A 2009-es Advanced Grant tisztán matematikai pályázat volt, tehát ott egyszerűen a matematikai célokat és korábbi matematikai eredményeket kellett leírni, ami visszatekintve valamilyen értelemben sokkal könnyebb volt a mostani helyzetnél. Ráadásul akkor még nem kellett élőben prezentálni a zsűri előtt – az írásbeli anyagok alapján történt az értékelés. Most azonban részletesen ki kellett dolgozni, hogy milyen kapcsolatok lehetnek az érintett két vagy akár három terület között, és hogy ezek a kapcsolatok hogy fognak olyan eredményekhez vezetni, amelyek nem érhetők el közvetlenül egy-egy résztvevő korábbi munkájából kiindulva, hanem tényleg az együttműködésen kell alapulniuk.

A Rényi csapata nagyon sokat segített a felkészülésben, és a továbbiakban is számítok a segítségükre. Az intézetben a pályázók útját egyengető Miklós Dezső esetében egy szerencsés szakmai együttállás is megvalósult, hiszen az ő kutatási területe igencsak rokon a miénkkel. Abért Miklós és Szegedy Balázs is ERC-nyertesek, tehát nekik is volt már tapasztalatuk interjúval, és a próbainterjúba a korábban említett Buzsáki György is bekapcsolódott Skype-on, meg a CEU több kiváló kutatója. Természetesen az MTA-n működő ERC Nemzeti Kapcsolattartó Pont munkatársai is segítettek, márpedig nekik nem kevés tapasztalatuk van arról, hogyan zajlanak a dolgok az Európai Kutatási Tanács pályázatain. A sok segítség cseppet sem volt hiábavaló, hiszen a próbainterjú elsőre meglehetősen rosszul sikerült, és azt hiszem, hogy végül a „rossz főpróba – jó előadás” elve érvényesült.

Hármasban kellett prezentálni az elképzeléseiket?

Elvileg igen, de megegyeztünk abban, hogy csak ketten beszélünk, hiszen ha 15 perc alatt kétszer is váltunk, akkor teljesen szétesik a mondanivalónk. A két oldalnak viszont világosan meg kellett jelennie – így én egy kicsit Nešetřil professzor nevében is prezentáltam, a másik előadó pedig Barabási Albert-László volt. Csak egy példa: a próbainterjún az én feladatom volt, hogy valamilyen általános áttekintést adjak, és utána következett volna Barabási. Kiderült, hogy ez nem igazán működik. A jelenlevők ajánlása szerint sokkal logikusabb volt, hogy cseréljük fel, tehát kezdjük a gyakorlati példákkal, ahonnan a problémák származnak, a prezentáció második felében pedig mutassuk meg, hogy jó eséllyel milyen eszközöket lehet továbbfejleszteni, hogy ezek a dinamikus hálózatokra is alkalmazhatók legyenek. De ez csak egy volt a rengeteg nagyon hasznos tanács közül, amit a nagyjából másfél órásra nyúlt próbainterjú során kaptunk. Köszönet illeti a kollégákat, akik beültek, és a helyszínen vagy később e-mailben feltették kellemetlennek szánt kérdéseiket. Az interjú előtti nap délutánján azután hárman összeültünk, és végigmentünk az összes beérkezett kérdésen, javaslaton, ötleten. Szerintem a nélkül a segítség nélkül, amit a két budapesti vendéglátó, a CEU és a Rényi Intézet nyújtott nekünk, biztosan elbuktunk volna a pályázaton.

Az sem könnyíthette meg a helyzetét, hogy az Akadémia elnökeként kellett felkészülnie a pályázatra, ráadásul az utóbbi hónapok nem éppen a nyugalomról szóltak.

Magát a pályázati anyagot egy évvel ezelőtt, egy nyugodtabb időszakban írtuk meg, tehát a tartalmi rész már készen volt. Szerencsére a szeptember 5-i interjú környékén éppen egy eseménytelenebb időszak adódott az MTA és a minisztérium közötti tárgyalásokban, így szabaddá tudtam tenni három napot, amikor kizárólag a felkészülésre összpontosíthattam.

Ugyanakkor elnöki ciklusa fennmaradó másfél éve sem tűnik egyszerűnek, az Akadémia intézethálózatának jövője dől el a következő hónapokban.

Maga a projekt várhatóan jövő nyáron indul el, hiszen először szerződéseket kell kötni, és rengeteg adminisztrációra van szükség. Ráadásul az akadémiai szféra mindig a tanévhez igazodik: nyáron jönnek haza a külföldön végzett diákok – nyáron lehet felállítani a csapatot, marad tehát egy szűk év az elnökségemből. Én most is heti egy napot igyekszem kutatónapként igénybe venni, ez megszokott az Akadémia elnökeinél, és szerintem ezt nem is szabad feladni. Akadémiai elnökként az embernek kapcsolatban kell maradnia valahogy a kutatással, utána pedig mint emeritus professzor annyit foglalkozom a projekttel, amennyit csak akarok.