A négydimenziós tér kibogozása – bemutatjuk Stipsicz András ERC-nyertes kutatási témáját

ERC Advanced Grant támogatást nyert Stipsicz András matematikus, a HUN-REN Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet igazgatója. Ez azt jelenti, hogy munkacsoportjával 2 millió eurót, vagyis csaknem 800 millió forintot költhet el a következő öt évben egy olyan projektre, melynek már a címét – Csomók és felületek négydimenziós sokaságokban – is komoly kihívás megérteni. Ebben a cikkben ennél sokkal tovább nem is jutunk, de annyit biztosan ígérhetünk, hogy aki végigolvassa, a matematika egy érdekes területébe nyer betekintést.

Stipsicz András Forrás: mta.hu/Szigeti Tamás

Egy gyurmából épített világ

Először kicsit járjuk körül, mivel is foglalkozik Stipsicz András, már amikor éppen nem a Rényit igazgatja! Stipsicz topológus, vagyis terekkel, felületekkel, csomókkal és mindenféle érdekes alakzatokkal foglalkozik. A topológusok szemléletének talán legfontosabb eleme pedig az, hogy lényegében mindenre úgy gondolnak, mintha valamilyen nyújtható, hajlítható, gyúrható anyagból lenne – és két „dolog” között nem is igazán tesznek különbséget, ha azok egymásba átgyúrhatók. Tehát ha egy kisgyerek gyurmázik, és olyan ügyesen játszik, hogy sehol nem szakítja el (tehát nem is lyukasztja ki) a gyurmát, a Rényiből épp hazaért apukája számára nem sokban különbözik a kezdeti gyurmagolyó a belőle gyúrt emberkétől. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a topológus a térnek, az alakzatoknak olyan mély geometriai tulajdonságaival foglalkozik, amelyet a hétköznapi életben megszokott átalakítások (transzformációk) nem bolygatnak meg.

Az egyik ilyen mély tulajdonság, melyet nem lehet (és nem is érdemes) megkerülni, a dimenzió. Gyurmagolyónk háromdimenziós, és akárhogy próbáljuk síkba lapítani, mindig lesz belseje és külseje. Ugyanakkor a felszíne, ha jobban belegondolunk, kétdimenziós, mivel ha kijelölünk két egymással szöget bezáró irányt, minden pontjához eljuthatunk úgy, hogy megmondjuk: lépj ennyit az egyik irányba, és annyit a másikba.

Mi is az a tér?

A topológusok gyakran beszélnek „terekről”, miközben hétköznapi beszélgetőtársuk valamiféle objektumot képzel el. Az értelmezésbeli különbség alapja, hogy a topológusok terei önmagukban értelmezhetők, és a sokat emlegetett „mély tulajdonságok” olyanok, hogy vizsgálatukhoz nincs szükség valamiféle nagyobb, külső, befogadó térre, ahonnan egy objektumként megnézhetjük ezt a teret. Talán a legegyszerűbb példa erre a gömbfelület és az úszógumi felületének (tórusz) különbsége. „Kívülről”, ha ezeket egy hagyományos, háromdimenziós térben nézzük, világosnak tűnik a különbség. De képzeljük el, hogy egy óriási, több ezer kilométer átmérőjű gömb vagy egy óriási úszógumi felületén élünk, ahol ráadásul nem látunk messzebb néhány kilométernél.

A különbség érdekes módon némi lábmunkával igazolható. Ha elindulunk a gömbfelületen és teszünk egy kört, a gömbfelületet mindig fel tudjuk osztani a körön belüli és a körön kívüli pontokra. Ha valaki egy külső pontból egy belsőbe szeretne menni, természetesen át kell haladnia a körvonalon. Ugyanakkor az úszógumin vannak olyan körvonalak, amelyekre ez nem igaz. Ilyen például az úszógumi „egyenlítője”, vagyis a legnagyobb sugarú kör, ami a felszínén kijelölhető. Képzeljünk el egy két tetszőleges pontot az úszógumi felületén, és láthatjuk, hogy bárhol is vannak egymáshoz képest, el tudunk jutni egyikből a másikba úgy, hogy nem lépjük át az „egyenlítőt”.

A topologikus tereket persze kényelmes tágasabb, ismerős terekbe ágyazva objektumként megjeleníteni (már ha ez lehetséges), de éppen az a topológia izgalma, hogy erre valójában nincs szükség.

Egy labda és egy úszógumi, amelynek előzékenyen az egyenlítőjét is behúztuk Forrás: istockphoto.com

Dimenzióugrás

Kétdimenziós alakzatokat mindannyian ismerünk, ahogy egydimenziósakat (vonalak, szakaszok), és nulladimenzióst is (ez nem más, mint a pont). Azonban a dimenziók növekedhetnek is, és itt valóban igaz Buzz Lightyear örökbecsű jelmondata: „A végtelenbe és tovább!” Egyelőre azonban legyen elég megbarátkozni a hagyományosnál kicsit több dimenziós terekkel. A háromdimenzióst mondhatni belaktuk, a négydimenziós tér pedig talán ismerős lehet a „téridő” fogalma kapcsán, amikor hagyományos terünket az idő tengelyével kiegészítjük.

Már egy plusz dimenzió is emberi aggyal nehezen elképzelhető jelenségeket produkál, de innen még nyugodtan mehetünk feljebb. Hova? Minek? Kérdezné az ember gyanakodva, ízlelgetve a fizikusok meg a sci-fi írók fura elképzeléseit. De egyáltalán nincs szükség ilyesfajta egzotikumra, hogy megidézzük a magasabb dimenziókat. Stipsicz András kedvenc példája egy négy csuklóval mozgatható robotkar, amelynek lehetséges helyzetei – ahol a csuklók egymástól függetlenül, szabadon foroghatnak – egy nyolcdimenziós teret adnak. Az igazság az, hogy ha az ember körbenéz maga körül, jó eséllyel tucatnyi olyan tárgyat, eszközt, alkalmazást, talál, melyek elkészítéséhez vagy működtetéséhez a tervezőnek ki kellett lépnie a hagyományos háromdimenziós térből. Persze pont azért volt mindig kéznél a matematika, hogy ezek a dimenzióugrások könnyen végrehajthatóak legyenek egy teljesen átlagos mérnök számára is.

Robotcsuklók és botorkálás nyolc dimenzióban

Akit részletesebben is érdekel, hogyan lesz a robotkar helyzeteinek „tere” nyolcdimenziós, és mire is jó ez, annak itt egy kicsit bővebb magyarázat.

Képzeljük magunk elé a robotkart. Az első csuklójának középpontja egy állványhoz van rögzítve, és ekörül két, egymásra merőleges tengely mentén elfordulhat. Vagyis, lényegében egy gömbfelületen bármilyen irányt felvehet, és ezt az irányt a két tengely elfordulásának szögei ki is jelölik. Ugyanez a logika érvényes a többi három csuklóra is. Tehát van csuklónként két (összesen nyolc) adatunk, melyeket egymástól függetlenül megadhatunk – ezen értékek összessége meghatározza a robotkar „helyzetét”.

Ipari robotkar Forrás: istockphoto.com

De mi is pontosan ez a „helyzet”, és mire használható? A robotkar csuklóit összekötő rudakról és a robotkar másik végéről még nem beszéltünk. Képzeljük el, hogy robotkarunk egy autóösszeszerelő üzemben dolgozik, és a motortér valamilyen eldugott részében kell meghúznia egy csavart. Ha a feladat megoldásához csak arra lenne szükség, hogy a robotkar végpontja elérje a csavart, nyilvánvalóan egy háromdimenziós problémával állnánk szemben: „találjuk meg az utat a motortér akadályai között a kiinduló ponttól a célponthoz”. Azonban ennek a háromdimenziós problémának a megoldása nem sokat segít a robotkar irányításában. Világos, hogy a sikerhez az is kell, hogy a robotkar olyan helyzetek sorozatán át jusson el a célba, hogy teste egyik pillanatban se ütközzön neki a motortér elemeinek. A robotkart leíró nyolc adat a kar minden helyzetében felvesz valamilyen értéket, vagyis miközben a robotkar csuklói elforgatásával halad a célja felé, a csuklók irányainak összessége leír egy görbét a nyolcdimenziós térben.

A mérnök számára tehát úgy foglalható össze a probléma, hogy „melyik az az útvonal a nyolcdimenziós térben, amelyen a robotkar kezdeti pozíciójából a eljuthatunk a célpozíciójába úgy, hogy közben a robotkar fizikai teste a háromdimenziós térben ne ütközzön bele a motortér elemeibe”.

További izgalmas matematikai feladatot jelenthet annak meghatározása, hogy a lehetséges útvonalak közül melyiket teszi meg a kar a leggyorsabban, esetleg a legolcsóbban (legkevesebb energiát használva), vagy mondjuk a legkevesebb forgással (a kopások elkerülésére).

Segítőkész metszetek és ismerős sokaságok

Az emberi agy viszont ebben a háromdimenziós világban fejlődött ki, ezért nincsenek igazán eszközeink arra, hogy elképzeljük a négy- vagy magasabb dimenziós tereket. Egyvalamit viszont tehetünk: megnézhetjük, hogy az elképzelt magasabb dimenziós objektum milyen alakzatban metszené a mi ismerős háromdimenziós terünket. A meglepetést könnyű átélni, ha elképzeljük, hogy síkban élünk, és barátságos síkvilágunk terébe egy háromdimenziós kölyök beledob egy úszógumit. Ha az úszógumi élével érkezik a síkra, a síkvilág lakói először egy pontot látnak, amely hosszúkás, ellipszisre emlékezető körvonallá dagad, azután egyszer csak szétválik, és két különálló körlap látszik belőle! Így már érthetővé válik, hogy ha háromdimenziós terünkbe egy, a négydimenziós térben teljesen hétköznapi objektum lépne be, a világ legtermészetesebb dolga lenne, hogy fura jelenségeket produkáljon, részekre bomoljon majd újra összeálljon, olyan helyeken jelenjen meg, ahol ezt egy egyszerű háromdimenziós tárgytól elképzelhetetlennek gondolnánk.

Ami azonban a topológusok szempontjából igazán fontos, hogy ezek az alacsonyabb dimenziós térben megjelenő metszetek rengeteg információt adhatnak magáról a magasabb dimenziós objektumról. Valahogy úgy, ahogy a rutinos építész elképzeli a házat a különböző irányból vett síkvetületei alapján.

Rengeteg össze-vissza csavarodó, itt-ott megtörő, fura objektumot ki lehet találni, azonban ahhoz, hogy matematikai számításokat lehessen rajtuk végezni, érdemes néhány alapfeltételezést tenni. Így persze az egészen egzotikus terek kiesnek a matematikus látóköréből, de hát valamit valamiért… Az egyik legfontosabb ilyen feltételezés, amikor egy térről feltételezik, hogy lokálisan úgy néz ki, mint egy teljesen hagyományos valahány dimenziós tér. Ha ez a dimenziószám n, akkor n-sokaságról beszélnek. Erre a legegyszerűbb példa a Föld felszíne. Bárhol körülnézünk, egy hagyományos (ínyencek kedvéért: euklideszi) síkfelületet látunk magunk körül. Az egész „tér”, vagyis a Föld felszíne mégis egy gömbfelület. A Föld-felszín egy klasszikus 2-sokaság. De ugyanígy 2-sokaság az úszógumi felszíne is.

Osztályozott terek

Persze az még mindig nagy kérdés, hogy a topológusok mit is szeretnének megtudni az akárhány dimenziós terekről? Egy picit gondoljunk vissza a legelején mondottakra. Könnyen ki tudunk találni olyan objektumokat, amelyek azonos dimenziósak, de hiába nyújtjuk, gyurmázzuk őket, az egyikből nem juthatunk el a másikig (figyelem: az anyag kiszakítása és a felületek összetapasztása nem ér!). Például próbaljunk meg egy golyóból úszógumit készíteni! Nem fog menni, és ezt a topológusok be is bizonyították, szóval kár az erőlködésért. Na, de hány ilyen nagyon különböző objektum van? És ha valóban különbözőek, milyen módon lehet az egyikből a másikat megkonstruálni? Ennek az osztályozásnak és az osztályok közti kapcsolatoknak a feltérképezése a topológia alapvető kérdése. A választ 0, 1, 2 dimenzióra már régen tudjuk, a 3 dimenzió „megfejtése” egészen friss, a kétezres évek elejére tehető. 5 dimenziótól felfelé megint csak egyszerű a helyzet. De valamiért a 4 dimenziós terek eddig kifogtak a matematika eszköztárán.

Mielőtt rátérnénk Stipsicz András ERC-nyertes témájára, vegyük át még egyszer az alapokat!

• A topológia a tér, az objektumok mély szerkezetével foglalkozik, amelyet hidegen hagy a legtöbb olyan átalakítás, amit a hétköznapokban el tudunk képzelni. (Tér és objektum viszonyról lásd fenti keretes írásunkat.)
• Az objektumoknak van dimenziója – az egydimenziósak vonalszerűek, a kétdimenziósak felületekre emlékeztetnek, a háromdimenziósak testekre, és van még tovább…
• A topológia alapvető célkitűzése, hogy osztályozza, adott dimenzióban milyen tulajdonságú „terek” létezhetnek, és ezek között milyen kapcsolatok vannak.
• A négydimenziós tér fontos a fizikában, rengeteg módon kötődünk hozzá, és érdekes módon éppen itt nem ismerjük a terek topológiai osztályozását.
• A topologikus terek matematikailag kezelhetőbb csoportját jelentik a sokaságok, amelyek lokálisan olyanok, mint a hétköznapi (euklideszi) terek.

Így már nagyjából eljutottunk oda, hogy értjük Stipsicz András támogatott projektjének címét. Vagyis, azt hisszük, hogy értjük… Lássuk csak, mik is azok a csomók?

Kibogozni a négy dimenziós teret

Amikor az ember egy matematikussal beszélget, jobb, ha felkészül arra, hogy a szavak elvesztik eredeti jelentésüket, képlekennyé válnak, és ha eleget hallgatjuk beszélgetőpartnerünket, hamarosan valami egészen más jelentésben szilárdulnak meg. Nos, a csomó nem ilyen szó. A csomók hétköznapi csomók két aprócska különbséggel: valóban egydimenziós „fonalak”, továbbá a két végük össze van forrasztva. A csomók tehát a hétköznapi emberek számára is elképzelhető objektumok, de ha jobban belegondolunk, a csomók topológiájával mindenki foglalkozott, aki valaha megpróbált kibogozni egy összegubancolódott fülhallgatót vagy egy horgászdamilt.

Vajon a topológus szempontjából jelent-e valamit, hogy a csomó után még egy masnit is kötöttünk? Házi feladat... Forrás: istockphoto.com

Ahhoz azonban, hogy legalább alapjaiban megértsük Stipsicz András kutatásait, egy aprócska lépéssel tovább kell mennünk az absztrakcióban. A csomók és a négydimenziós terek között ugyanis van egy nagyon izgalmas kapcsolat. Képzeljük el a legegyszerűbb csomót, ami egy körvonal (topológusnyelven a triviális csomó, ha egy kocsmai beszélgetésben felvágnánk vele). És most gondoljunk bele, hogy milyen alakzatoknak lehet ez a körvonal a pereme. Világosan látszik, hogy a körlap nagyszerűen megfelel ennek a célnak. Na, de mi a helyzet az eggyel bonyolultabb csomónál? Már magát a csomót sem tudjuk lerajzolni két dimenzióban úgy, hogy ne metssze önmagát. Ki kell tehát lépnünk a háromdimenziós térbe! Most pedig keressük meg azokat az objektumokat, amelyeknek ez a csomó, ez a vonal a pereme. Nos, ezek az objektumok kétdimenziósak, tehát olyasvalamik, mint a körlap, azonban négy dimenzióban sokkal többféle ilyen felület létezik, mint háromban, és ezek a felületek rengeteg érdekességet tudnak a csomóról elmondani.

És el is jutottunk Stipsicz András módszeréhez. Az alapgondolat az, hogy ha kiveszünk egy darabot a négydimenziós térből, akkor annak a pereme háromdimenziós – éppúgy, ahogy a háromdimenziós golyó pereme a kétdimenziós gömbfelület. Ezután a matematikus elkezd mindenféle csomókat rárajzolni erre a peremként megkapott háromdimenziós objektumra, és megnézi, hogy ezek a csomók miféle, négy dimenzióban ábrázolható felületeknek lehetnek a peremei.

Stipsicz analógiájával olyan ez, mintha felnyitnánk a négydimenziós tér „motorháztetejét”, kikapnánk egy darabot a bonyolult szerkezetből, és a darab határán elkezdenénk nézegetni, mi hova csatlakozik. Az a remény, hogy a csomóelméletben több mint egy évszázada finomított eszköztár nagy segítség lehet a megértésben. (Fun fact: a csomóelméletet a zord hőmérsékletekről ismerős Lord Kelvin kezdte először komolyan venni az 1800-as évek végén, amikor még sokan az atomokat a tér csomósodásának gondolták. Rutherford sikeresebb modellje, a „bolygórendszer-szerű” atommodellel kiütötte ezt az elméletet, de a topológusok hálásak lehetnek a jó lordnak.)

Az pedig, hogy a korábban említett sokaságokkal – tehát olyan négydimenziós terekkel, amelyek lokálisan „nem túl vadul” viselkednek, vagyis hasonlóak a mi hagyományos, euklideszi terünkhöz – foglalkoznak azt garantálja, hogy a műveleteik leírásánál a differenciálegyenletek teljes eszköztárát bevethetik, hiszen az ilyen terekben alkalmazhatók az ott bizonyított matematikai tételek. A differenciálegyenletek tudománya pedig még a csomókénál is jóval régebbi hagyományokra tekint vissza, már Newton és Leibniz foglalkoztak velük a 17. század végén.

Az idő és a kapcsolatok dimenziója

És hogy mire jó mindez? Szegény matematikusoknak talán még a holt nyelvek igekötőit kutató bölcsészeknél is gyakrabban felteszik ezt a kérdést, amire meglepő módon nem azért nehéz jó választ adni, mert a matematika felesleges huncutság lenne. Éppen ellenkezőleg! Hétköznapi életünk ezer szálon kötődik a matematikához, azonban a matematika annyira „erős” tudomány, hogy a legtöbb alkalmazás már évtizedekkel korábban bebizonyított matematikai tételekre épül. Talán a legfrissebb ilyen példa a mesterséges intelligencia, a mélytanulás forradalmi előretörése. Természetesen vannak friss kutatási eredmények, de a tanuló hálózatok matematikájának alapjait már az 1970-es években lerakták. Nem is érdemes tovább kerülgetni a kérdést: a négydimenziós tér topológiának megismerése valószínűleg nem jár sok gyakorlati haszonnal az elkövetkezendő években. Azonban, ahogy a cikk korábbi részében említettem, ez a tudásbeli „lyuk” a négydimenziós tér kitüntetett szerepe miatt elég érzékeny helyen van, így ha mérnökök nem is, de matematikusok és fizikusok jó eséllyel profitálhatnak Stipsiczék eredményeiből.

A másik kérdés, ami a matematikusok pályázati nyereményei kapcsán felmerül, hogy mi a csudára fogják költeni ezt a rengeteg pénzt, amikor legtöbbször nincs szükségük másra, mint papírra, ceruzára, kávégépre, és esetleg egy táblára. Plusz vegyük még ide a kényelmes széket, ahol lehet gondolkodni.

Nos, természetesen az utóbbi időben a számítástechnika is betette a lábát a matematikai kutatásba, és valóban vannak komoly számítási kapacitással segített bizonyítások. Azonban Stipsicz András szerint – legalábbis az ő kutatócsoportjában – nem erre fog elmenni a pénz. A matematikusok munkájában két nagyon fontos tényező van: az egyik az idő, vagyis hogy nyugodtan tudjanak munkaidejükben (és jellemzően azon túl is) foglalkozni az őket érdeklő problémákkal, valamint a személyes kapcsolatok. Stipsicz elmondása szerint ugyanis a kutatók közötti személyes kommunikációt, a fehér tábla előtti megbeszéléseket, ötleteléseket nem helyettesíti a Zoom. Éppen a kommunikáció azon finom rezdülései vesznek el a digitális kapcsolatokban, amelyekből ötletek és egészen új kutatási irányok születhetnek. Meglepő, hogy a matematika végtelenül egzaktnak tartott világában éppen ezek a tényezők kapnak nagy szerepet, nem is beszélve a személyes jelenlét jelentette motivációról.

A 800 millió forintból öt év alatt rengeteg konferenciát lehet szervezni a témában, számos nagyszerű matematikust lehet idecsábítani, tehetséges fiatalokat vonzani erre a kutatási területre, és tovább erősíteni a magyar topológiai iskolát.