A bolygómozgás törvényeinek felfedezője – 450 éve született Johannes Kepler

Ulm és Karlsruhe között, Dél-Németországban fekszik Weil der Stadt, a kisváros, ahol 1571. december 27-én Johannes Kepler megszületett.

A teológiától a tudomány felé

Fotó: Wikimedia Commons

Elszegényedett protestáns családból származott. Életkörülményei nem vallottak előkelő származásra, bár szűcsmester nagyapja volt egykor a város polgármestere. Atyja katona volt, különböző zsoldos seregekben harcolt, időnként hazatért családjához, majd megint katonáskodni ment; egy alkalommal csaknem fölakasztották. 1588-ban egy hadjáratban végleg eltűnt. Anyja, egy kocsmáros leánya füveket gyűjtött, gyógyfőzeteket készített és ajánlott ismerőseinek; később boszorkányság vádjával kis híján máglyára jutott. A weili házban nyüzsögtek a furcsánál furcsább rokonok; nem csoda, hogy a gyermek Johannes nem érezte magát köztük vidámnak és magabiztosnak. Különös betegségek kínozták, és önmagát rühes kutyához hasonlította. Iskoláiban tehetségesnek bizonyult, ezért amikor eljött az ideje, teológiát kezdett tanulni. Itt is kiváló eredményeket ért el, tanárai mégsem ítélték alkalmasnak a lelkészi pályára – s ebben alighanem igazuk volt. Inkább egy grazi matematikatanári állást ajánlottak neki. Akkor még nem értett e tudományhoz, ezért habozott, mit tegyen; végül elfogadta az ajánlatot, s lelkiismeretesen tovább képezte magát. Gondolkodásában eleinte a középkori nézetek uralkodtak, későbbi világszemléletét azonban – főként saját munkássága eredményeként – már az újkori tudományos világkép határozta meg.

Grazban a matematika mellett latint és retorikát is tanított, bár eleinte alig volt hallgatója. Hírnévre tett viszont szert kalendáriumaival, amelyeknek időjóslatai állítólag félelmetesen beváltak. Ezek persze nem meteorológiai, hanem asztrológiai előrejelzések voltak – Kepler kora misztikus világképében élt, asztrológiát is tanult, és sokáig hitt is benne.

XIII. Gergely pápa 1582-ben naptárreformot vezetett be. A katolikus országokban elfogadták a változtatást, bár itt-ott heves ellenállásba ütközött, és a Gergely-naptár több országban csak évek múlva került használatba. A protestánsok még tovább tiltakoztak: Svájcban pl. csak 1821-ben fogadták el hivatalosan, Oroszországban pedig 1918-ban. Kepler megértette a naptárreform fontosságát, és támogatta a bevezetését; ezzel sok ellenséget szerzett magának.

Sokat töprengett a Naprendszer szerkezetének részletein: miért úgy keringenek a bolygók, ahogyan teszik, miért éppen hat van belőlük (akkor még csak a szabad szemmel látható bolygókat ismerték) stb. – e kérdések évezredek óta foglalkoztatták a csillagászokat. A „megoldás” egy előadás közben jutott eszébe. Egy geometriai ábrát rajzolt a táblára – szabályos háromszöget a körülírt és beírt körével –, s közben hirtelen az az ötlete támadt, hogy az egyes bolygók körpályáit meg lehet szerkeszteni, ha bizonyos szabályos sokszögek körülírt körét egy másik szabályos sokszög beírt körének vesszük. Hamar felismerte, hogy az ötlet téves, de térben elképzelve továbbfejlesztette. Évezredek óta ismeretes ugyanis, hogy öt szabályos test létezik (közéjük tartozik pl. a kocka, a szabályos tetraéder, az oktaéder stb.). Ha ezeket megfelelő sorrendben vesszük, s gömbökkel elválasztva egymásba szerkesztjük, Kepler szerint a gömbök megadják a bolygók pályáját. Íme a magyarázat arra is, miért éppen hat bolygó van!

Az elképzelés alapfeltevése, hogy a rendszer közepén a Nap áll,

amit Kopernikusz 1543-ban De revolutionibus orbium coelestium című művében állított, és amit a régi, földközéppontú világkép hívei nem vettek komolyan – Kepler azonban igen.

A bolygópályák mint fizikai problémák

Rá kellett jönnie, hogy ez az újabb elképzelés sem állja meg a helyét, mégis sokáig próbált ragaszkodni hozzá. Mysterium cosmographicum címmel 1596-ban könyvet adott ki róla. A könyv első felének tartalmára a cím elég pontosan utal. A második rész azonban egészen más hangot üt meg: a bolygók pályaadatai közt matematikai összefüggéseket keres. Úgy véli, hogy a bolygók mozgását a középen álló Nap határozza meg: erőt fejt ki rájuk, amely kifelé haladva éppúgy gyengül, mint a fényerősség a forrástól való távolsággal. Ez a zseniális gondolat talán Kepler legnagyobb eredménye és érdeme: a bolygópályák problémáját elsőként ő tekintette fizikai kérdésnek! A gravitáció fogalmáig persze nem jutott el, de kifejtette: ugyanaz az erő a Hold és a Föld között is fellép, s ez okozza az árapály jelenségét. Később egy megjegyzésben (az alább említendő Harmonices mundi vége felé) mágneses hatásra gyanakodott.

Illusztráció a Mysterium Cosmographicum-ból Fotó: Wikimedia Commons

Könyve példányait elküldte minden jelentős tudósnak, így Galileinek és Tycho Brahénak is. Galilei – ekkor még titokban – szintén a kopernikuszi világkép híve volt, de Kepler könyvét elutasította, mert megvetette mágikus-misztikus gondolkodásmódját. Talán Tycho volt az egyetlen, aki megsejtette a mű értékeit. Kepler pedig nagy tisztelettel és némi irigységgel gondolt Tycho gondos és alapos méréseire.

Nyolc nap helyett nyolc év

A protestánsüldözések közepette Keplernek többször is el kellett hagynia Grazot. Bejárta fél Európát (egy időben Magyarországon is lakott), s közben matematikával és fizikával foglalkozott. Ekkorra már gyakorlott matematikussá fejlődött, sőt korát megelőzve olyan problémákat is megoldott, hogy eredményei alapján a differenciál- és integrálszámítás kidolgozói közé számítható.

1600-ban meghívást kapott Prágába a királyi csillagásztól, Tycho Brahétól. Tycho korábban Dániában dolgozott, ahol a királytól egy szigetet kapott, s ott rendezte be pompás magánobszervatóriumát. Dániából való kényszerű távozása után Prágában, II. Rudolf német-római császár és magyar király udvarában dolgozott tovább. Még nem ismerte a távcsövet, de hatalmas, gondosan megtervezett műszereivel rendkívül pontos méréseket végzett. Célul ő is azt tűzte ki, hogy föltárja a bolygók mozgásának helyes elméletét. Ezt ő egy ógörög földközéppontú elméletben remélte megtalálni, amelyben a Föld van ugyan középen, de körülötte csak a Hold és a Nap kering; a többi bolygó pedig a Nap körül.

Amikor Kepler megérkezett Prágába, Tycho és segédje, Longomontanus éppen a Mars pályáját vizsgálta. Tycho hajszálpontos megfigyelési adatai ugyanis sehogy sem akartak beleilleni a fent említett régi görög elképzelésbe. Kepler nagyképűen kijelentette, bízzák rá a problémát, ő nyolc nap alatt megoldja majd. Kérése teljesült, s ő hozzálátott a munkához.

El is végezte, csakhogy a nyolc napból nyolc év lett.

A Mars pályájának vizsgálata

Munkáját a Tycho által mért rengeteg igen pontos bolygópozíció-adatra alapozta. Először is bizonyította, hogy éppúgy, mint a Földé, a Mars pályasíkja is áthalad a Napon, s a két sík 1º50′ szöget zár be. Mint elődei – köztük Kopernikusz is –, feltette, hogy a bolygók körpályán haladnak ugyan, de nem állandó sebességgel; van viszont egy pont a pálya középpontján kívül, ahonnan a bolygó mozgása egyenletesnek látszik (az ún. ekváns). Kiszámolta ennek helyét, és megpróbálta ebből meghatározni a bolygó égi helyzeteit. Pontatlan eredményeket kapott: a pontatlanság 8 ívperc is lehetett. Ekkora eltérést korábban nyugodtan mérési hibának vett volna, de Tycho mérési pontossága ezt kizárta. Az ekváns ötletét el kellett vetnie.

A pálya alakját kutatva a legkülönbözőbb görbékkel kísérletezett. Többször „belebotlott” az ellipszisbe, de mindannyiszor elvetette, míg végül egy tisztán geometriai természetű adatra rácsodálkozva megértette: mégiscsak ellipszisről van szó. A pályát meg is tudta szerkeszteni. Kiszámolta a Mars (sziderikus) keringési idejét, ami nem nehéz, ismerve a földi év hosszát és a Mars egymás utáni szembenállásai közt eltelt időt. Azt kapta, hogy a Mars keringési ideje kb. 687 nap. Ezután keresett Tycho Mars-táblázataiban olyan adatokat, amelyek ennyi idő (vagy ennek egész számú többszöröse) különbséggel készültek. A Mars ugyanis ezekben az időpontokban ugyanott van a Naprendszer terében, de a Föld nem, így a Földről a bolygó más-más irányban látszik az égen. Papíron mindkét időpontra megszerkesztve a bolygó látóirányát, a két félegyenes metszéspontja megadja a bolygó helyét. Sok ilyen adatpár felhasználásával pontonként kirajzolódott a pályagörbe, ami – mint Kepler felismerte – olyan ellipszis, amelynek egyik fókuszpontjában a Nap van (Kepler I. törvénye).

Szerencséje volt, hogy éppen a Mars pályáját vizsgálta. A nagybolygók közül a Merkúré után ugyanis a Mars pályájának a legnagyobb a körtől való eltérése (excentricitása), így azt viszonylag könnyű volt észrevenni és meghatározni. „Szerencse” továbbá, hogy Tycho mérései annyira mégsem voltak pontosak, hogy a bolygók kölcsönös gravitációs perturbációi is észlelhetők legyenek. Ha Kepler azt is észrevehette volna, nem tudta volna mire vélni, és ezért aligha merte volna I. törvényét kimondani.

Tycho 1601-ben elhunyt, egy évet sem dolgoztak együtt – talán szerencsére, mert a két csillagász sehogy sem fért meg egymással. Tycho halála után örökösei mindent megtettek, hogy Kepler helyzetét nehezítsék, no meg a király is, aki nyomorúságos éhbért ajánlott csak fel neki, azt se igen fizette ki. Pedig főnöke halála után Kepler is megkapta a királyi csillagász címet.

Astronomia nova

1604-ben Kepler megfigyelt egy „új csillagot” az Ophiuchus (Kígyótartó) csillagképben. Nem tudhatta, mi volt ez a jelenség – ma már tudjuk, egy csillag pusztulása, ún. szupernóva-robbanás –, de könyvet írt róla (De Stella nova in pede Serpentarii, azaz „Új csillag a Kígyótartó lábánál”, 1604). Nehéz dolga volt, hiszen olyasmiről írt, amiről nem voltak – nem is lehettek – helyes ismeretei. Így hát eléggé homályos fogalmazásra kényszerült. Lássuk példaként könyve egy részletét:

„Mivel ugyanis eddig még senki sem járt az égben, nyilván nem hagyatkozhatunk szemeinkre, amelyekhez a csillagok fénye képüknek mintegy meghosszabbítása útján jut el, s így hiába törekszünk ezt kikutatni. Nyilvánvaló azonban a fényről és a szcintillációról szóló fejtegetésből, hogy két eset lehetséges: saját állandó anyaga szerint vagy tűz, vagy pedig test. Ha test volt, akkor azt a vergődő mozgást vagy magában tartotta, majd e szcintilláció ama paroxizmusban sugárzott elő, vagy pedig magától volt olyan fényes, és nagy sebességgel forgott. Ám egyik esetben sem értelmezhető a dolog valamiféle élet [föltételezése] nélkül, illetve valamilyen alakító, mozgató, vagyis élő segítségének lehetősége nélkül. Én az első felé hajlok: tűz volt; hiszen mint a láng, felemésztődött, mintha tápanyaga elfogyott volna. Ebben az esetben ugyanis nem lenne szükséges a szcintilláció magyarázatául az életet használni, hacsak olyant nem, mint a lángé vagy a parázsé. Azt azonban már nem tudom megmagyarázni, miért szórta szét a sugarait körös-körül, amikor nálunk a lángok egy biztos és álló forrásból törnek a magasba” (Csaba György Gábor fordítása).

Ebben a könyvben egyébként az „új csillagot” a Jupiter és a Szaturnusz együttállásával és az Újszövetségben emlegetett betlehemi csillaggal is összefüggésbe hozta.

1609-ben adta ki korszakalkotónak nevezhető könyvét, az Astronomia novát. Ebben – rengeteg barokkos sallang és misztikus eszmefuttatás után – nyolc év fáradságos munkájának eredményeit közölte. Bebizonyította, hogy a bolygók ellipszispályán mozognak, mégpedig napközelben gyorsabban, naptávolban lassabban. (A tételeket, pontosan megfogalmazva, Kepler I. és II. törvénye néven ma – remélhetőleg – minden iskolás megismeri.)

Az Astronomia Nova 1609-es eredeti kiadásának címlapja Forrás: Wikimedia Commons

Közben ugyanebben az évben Itáliában Galileo Galilei távcsövet szegezett az égre, és meglepő felfedezéseket tett. Többek között meglátta a Jupiter négy legfényesebb holdját, ami nyilvánvalóan megmutatja, hogy – szemben az addig az egyház által is megkövetelt világképpel – nem csak a Föld körül keringhetnek égitestek. Felfedezéseit kis könyvben hozta nyilvánosságra (Sidereus Nuncius, 1610), amelynek tudós kortársai azonnal nekitámadtak.

Kepler elolvasta a könyvet, s lelkesen Galilei hívéül szegődött, noha távcső híján nem tudta ellenőrizni a könyv állításait. Távcsövet hiába kért Galileitől, aki 16 év alatt összesen három levelet írt Keplernek, majd végleg megszakította a levelezést. Ő ugyanis szó szerint ragaszkodott a kopernikuszi világképhez, amelyben a bolygók szigorúan körpályán keringenek a Nap körül. Az ellipszispályát megengedhetetlennek tartotta, Keplernek azt az elméletét pedig, hogy a Nap és a bolygók között valamiféle vonzóerő lép fel, alaptalan asztrológiai spekulációnak tekintette. Nem foglalkozott a távcső működésével, nem is értette, ami pedig súlyos hiba volt.

A geometriai optika megalapozása

Kepler idővel kölcsönkapott valakitől egy távcsövet, s végre maga is meggyőződhetett Galilei igazáról. Kidolgozta a műszer elméletét, s Dioptrice címen adta ki könyvben, amely éppen 410 éve, 1611-ben jelent meg. Természetesen nem ez volt az első optikai témájú könyv, hiszen a fénytöréssel már a görögök, majd az arabok is foglalkoztak – bár a törés törvényére nem jöttek rá, ami elég furcsa, hisz mind a kísérleti, mind a szükséges matematikai eszközök a rendelkezésükre álltak. Maga Kepler is kiadott 1604-ben egy Astronomiæ pars optica című értekezést, amelyben megadta többek között a camera obscura, a szem és a látás, valamint a szemüvegek működésének magyarázatát. Azonban a Dioptricében fejtette ki elsőként igazán tudományos módon a geometriai optika alapjait, és több alkalmazási lehetőséget is tárgyalt, bár ezeket nem nevezte meg – a távcsöveket sem.

A könyvben Kepler a geometriai optika segítségével megmutatja, hogyan halad a fény a különféle elrendezésű optikákban.

Így utal erre, jellegzetes stílusában, műve bevezetésének utolsó bekezdésében: „Így tehát, olvasó barátom, megkapod a távcső megbízhatóságának bizonyítását az égitestek új megfigyeléseit illetően, elsőként ama német bizonyságtétele után. Mi akadályozhatna meg tehát engem, hogy e kitűnő eszközről dicshimnuszt zengjek e geometriai könyvben; és téged, olvasó, hogy érdemének megfelelően, elszánt lélekkel s nem közönséges figyelemmel érdeklődj, midőn elmondom. E művel élesíted elmédet, a dolgok megértése útján műveltebb leszel a filozófiában, felkészültebb leszel a mechanika, valamint más hasznos és kellemes dolgok felfedezésére; szóval ezerféle módon leszel óvatosabb és biztosabb ott, ahol a sokaság tévedésbe szokott esni. Ég veled, s e bevezetésről legyen a véleményed kedvező és jó” (Csaba György Gábor fordítása).

Könyvében foglalkozott többek között a fénytöréssel (bár a törés törvényét ő sem találta meg, és nem tűnt fel neki a különböző anyagok különböző törésmutatója sem, ellenben észrevette a színszórás jelenségét), a prizmák és lencsék működésével; bemutatta egy fényszóró tervét; rájött, hogy a gömbfelületű lencsének nincs pontos fókuszpontja, szerinte ehhez hiperbolikus felületre lenne szükség stb.

Tervezett és talán el is készített egy távcsövet, amely Galileiénél sokkal jobb – ezt az ún. Kepler-távcsövet a csillagászok ma is használják.

Közben tovább dolgozott a bolygómozgások elméletén és a bolygók pályáinak összevetésén. 1619-re született meg újabb nagy műve, a Harmonices mundi. Ez is a rá oly jellemző misztikus-racionális kettősség jegyében íródott. Számos matematikai arány és összefüggés közt fantasztikus elméleteket is közöl, így pl. a bolygók által keringés közben kiadott hangok (a „szférák zenéje”) kottáját. Ír benne az asztrológiáról is, de immár elítélően, s általában haszontalan babonaként emlegeti.

Az udvari asztrológus

Kepler ebben a könyvben mintegy mellékesen közli legfontosabb eredményét, a bolygók mozgásának III. törvényét. Ez a törvény két bolygó pályájának adatait veti össze: ha két égitest ugyanazon központi test körül kering, akkor a két égitest keringési idejének négyzete úgy aránylik egymáshoz, mint pályájuk fél nagytengelyének harmadik hatványa. E sorok írója bevallja: amikor a könyvtárban néhány órára kezébe került az eredeti mű, a törvényt szorgos keresés ellenére nem lelte a rengeteg összefüggés, képlet stb. között. De tudva, hogy a terjedelmes könyvben maga Newton fedezte föl ezt a fontos tételt, nem nagyon restelli kudarcát.

Kepler állandó anyagi és családi gondok közepette dolgozott. Egyre nőtt az összeg, amivel Rudolf tartozott neki, míg végül a császár – adósságával együtt – „eladta” őt Wallenstein hercegnek. Wallenstein is udvari asztrológusnak használta Keplert, aki kényszerűségből kiszolgálta őt, de fizetését Wallensteintől sem kapta meg.

A Kepler által készített Tabulae Rudolfinae világtérképe Forrás: Wikimedia Commons

A herceg horoszkópot kért tőle, amit Kepler el is készített, de gazdája, nem lévén elégedett az előrejelzések pontosságával, új számítást kért. Ez is elkészült, ránk maradt. A mai csillagjósok szerint ez csodálatos horoszkóp, 100 százalékban bevált. De ha elolvassuk, látható: a sok általános szöveg között – amivel közismert módon minden horoszkóp teli van – 24 ellenőrizhető állítás van. Ezek közül 5 vált be, de egyik sem az előre jelzett időpontban. Különösen fontosnak tartotta a hadvezér Wallenstein, hogy megtudja, mely időszakokban fenyegeti életét veszély. Kepler erre is megadott három időszakot, azzal, hogy ha ezek baj nélkül elmúlnak, akkor – a herceg életének 47. és 52. éve között – szerencsecsillaga magasra ível, javakban, hatáskörben, tekintélyben hatalmasan gyarapodni fog. Ám a herceget 51 éves korában meggyilkolták – bár ezt Kepler már nem érte meg.

Munkássága sokrétűségére jellemző, hogy 16, nem csak csillagászati témájú könyvet adott ki. Írt pl. a hópelyhek hatszögletű szimmetriájáról (1611) vagy a sörös- és boroshordók legcélszerűbb alakjáról (1615). Sőt egy fantasztikus regényt is írt Somnium címmel, amely a Holdon játszódik (a szerző halála után, 1634-ben jelent meg).

Szegénysége miatt kénytelen volt Wallensteintől gyakran követelni járandóságát, mivel – egyéb gondjairól nem is szólva – már-már nyomorognia kellett családjával. Végső szükségében 1630-ban a herceg után utazott a birodalmi gyűlésre Regensburgba, de a herceg ott sem törődött a csillagász pénzével. Kepler pedig napok óta éhezett, fázott, a hosszú utazás elcsigázta, s nem is volt már fiatal. Megbetegedett, és november 15-én elhunyt.

22 tallér, két ing, egy kabát és két művének néhány tucat példánya maradt utána. Barátai temettették el, sírkövére Kepler saját versét vésték emlékül. Ez a kő rövid idő múlva romok alá került, s elpusztult. Csak 1808 óta áll méltó emlékmű a tudomány történetének e fényes tudású, de nehéz életű alakjának nyughelye fölött.

Munkásságának eredményeképpen pontosan ismerjük, és előre ki tudjuk számítani a bolygók mozgását. De hogy miért ilyenek e mozgások, Kepler még nem tudta. Erre a kérdésre később, Kepler eredményeinek felhasználásával, Isaac Newton adta meg a választ.