A gradiensproblémától a négyzetek mentén vett ergodikus közepekig – Buczolich Zoltán levelező tag székfoglaló előadása
Buczolich Zoltán levelező tag 2023. január 18-án megtartotta akadémiai székfoglalóját. Az előadásról szóló, képgalériával és videóval bővített összefoglaló.
A magyarországi matematikai iskola erős problémamegoldó hagyományainak megfelelően Buczolich Zoltán előadásában két olyan igen nehéznek bizonyuló, matematikai analízisbeli kérdésről beszélt, melyek megválaszolása nagyban hozzájárult akadémikussá történő megválasztásához.
Buczolich Zoltán(A fotóra kattintva megnézhető az akadémiai székfoglaló előadásról készült képgaléria.) Fotó: mta.hu / Szigeti Tamás
Az első C. E. Weil gradiensproblémája volt, mely az 1960-as évekből származott. Az előadó elmondása szerint 1987-ben hallott róla először. Egyváltozós függvények deriváltfüggvényei rendelkeznek az úgynevezett Denjoy–Clarkson-tulajdonsággal, ez nagyjából azt jelenti, hogy ha a derivált valamilyen értéket felvesz, akkor viszonylag nagy, pozitív Lebesgue-mértékű halmazon fölvesz ehhez közeli értékeket. A gradiensprobléma ennek magasabb dimenziós általánosítására vonatkozott.
Végül 16 évnyi (nem folyamatos) gondolkodás után, 2003-ban sikerült egy kétdimenziós ellenpéldát találnia, azaz sikerült megadnia egy olyan felületet, melynek minden pontjában van érintősíkja, van olyan pont, ahol az érintősík vízszintes, viszont igen kicsi, Lebesgue null mértékű halmaztól eltekintve a felület meredek, azaz gradiensének abszolút értéke nagy.
Ezt követően 2003-ban Daniel Mauldin javaslatára egy Texasban töltött félév során kezdett vele együttműködve dolgozni Jean Bourgain egy híres ergodelméleti kérdésén.
Az ergodelmélet kialakulását a statisztikus fizika motiválta.
A matematikán belül számos néha igen meglepő területen használtak fel ergodelméleti módszereket. Ilyen például Hillél Fürstenberg ergodemléleti bizonyítása a Szemerédi-tételre.
Boltzmann ergodikus hipotézise nagy vonalakban azt mondja ki, hogy egy rendszerben a tér- és időátlagok megegyeznek. Ennek pontosabb matematikai megfogalmazásait adják Neumann János és Garrett Birkhoff ergodtételei. Ezek motiváltak különböző, Birkhoff-féle „időátlagok” konvergenciájára vonatkozó kutatásokat.
Jean Bourgain megmutatta, hogy ha egy függvény nem növekszik túlságosan gyorsan, azaz még p>1-re a függvény p-edik hatványa is integrálható, és az időátlagokat nem minden egész „időpillanatban” történő méréseken alapulva, hanem csak a négyzetszámoknak megfelelő időpillanatokat használva készítik, akkor a megfelelő Birkhoff-átlagok konvergensek maradnak.
Birkhoff eredeti ergodtételében csak integrálhatóságot tett fel, így a Bourgain által vizsgált esetben is természetesen adódott a kérdés, hogy vajon mit mondhatunk, ha csak integrálhatóságot (p=1) teszünk föl.
Buczolich Zoltánnak Daniel Mauldinnal közös cikkében, mely az Annals of Mathematicsban jelent meg, sikerült ellenpéldát adnia. Az ellenpélda konstruálása közben kulcsfontosságúak voltak számelméleti, kvadratikus maradékok véletlenszerű eloszlására vonatkozó tételek.
Buczolich Zoltán 1961-ben született Budapesten. Az Eötvös Loránd Tudományegyetem egyetemi tanára. Szűkebb szakterülete a valós analízis, az ergodelmélet, a dinamikus rendszerek és a multifraktál-analízis. 2005-ben megoldotta az akkor már 40 éve nyitott, ún. gradiensproblémát. Megmutatta, hogy egy nyílt halmaznak egy többváltozós függvény gradiense általi inverz képe lehet nemüres és nullmértékű. Konstrukciójának egészen újszerű módszere később önálló kutatások tárgya lett, és számos más területen is alkalmazásra lelt.
