Bolyai emlékének ápolásán túl a díj létrehozásának eredeti céljai között szerepelt a hiányzó matematikai Nobel-díj eszmei pótlása is.

Az első díjazott 1905-ben a francia Henri Poincaré, a 19. század egyik legsokoldalúbb matematikusa volt, 1910-ben pedig a német David Hilbert kapta meg az elismerést. Az érem odaítélése az első világháború kitörése után megszakadt.

A Magyar Tudományos Akadémia 1994-ben alapította újjá az elismerést Bolyai János Nemzetközi Matematikai Díj elnevezéssel. A kitüntetés 25 000 amerikai dollárral, valamint az eredeti minták felhasználásával készült, aranyozott bronzmedállal jár.

A Bolyai-díjat a Magyar Tudományos Akadémia minden ötödik évben adja ki a megelőző tizenöt (korábban tíz) évben bárhol és bármilyen nyelven megjelent legkiválóbb, áttörő jelentőségű, saját új eredményeket, módszereket bemutató matematikai monográfia szerzőjének, tekintetbe véve a szerző előző tudományos munkásságát is.

A díj odaítélése előtt egy évvel az Akadémia Matematikai Tudományok Osztálya öt rendes tagból és öt kiemelkedő külföldi matematikusból álló bizottságot választ, és kijelöli annak elnökét. A bizottság a díj átadása előtt legkésőbb három hónappal jelentést tesz döntéséről az osztályelnöknek. A bizottság tagjai közül maga választja meg előadóját, aki a díj átadásakor részletesen ismerteti a díjazott munkásságát és erről írásbeli jelentést készít. Az elnök a bizottságban szintén szavaz, és szavazategyenlőség esetén szavazatával dönt.

2020

Terence Tao

2015

Barry Simon

2010

Jurij Ivanovics Manyin

2005

Misha Gromov

2000

Saharon Shelah