Káosz a sokdimenziós biliárdasztalon
Ha azt mondjuk, ergodicitás, Brown-mozgás és Lorenz-rendszer, csak kevesen kapják fel a fejüket. Ha viszont azt mondjuk: biliárdjáték, időjárás-előrejelzés, káoszelmélet, mindjárt izgalmasabban hangzik a dolog. A kapcsolódási pont az idén 75 éves Szász Domokos, akinek tiszteletére most konferenciát szerveztek Bécsben.
Szász Domokos, akit ma az Akadémia egyik A konferencia részletes programja itt érhető elalelnökeként is ismerhetünk, „tiszta” matematikusnak készült az 1960-as évek elején, azonban egy hároméves moszkvai szellemi kaland közelebbi kapcsolatba hozta a fizikával, így a hetvenes évektől kezdve munkájában mindenütt felfedezhetők ennek nyomai. A körülötte kialakult szellemi műhely fontos ponttá tette Budapestet a dinamikai rendszerek világának térképén, így – ma a University of Maryland mellett – Rómával és Párizzsal emlegetik együtt.
Szász Domokos az MTA 187. közgyűlésén Fotó: mta.hu/Mudra LászlóA dinamikai rendszerek huszadik században kifejlődött tudományterülete a fizika és a matematika határán egyensúlyoz, így sokszor nagyszerűen mutatja a fizikusok és a matematikusok gondolkodásmódjának különbségeit, no meg azt, hogy miként tudják ezek egymást építő módon kiegészíteni. Ahhoz, hogy egy kicsit belelássunk ebbe a világba, ismerkedjünk meg a „határ másik oldalán” elhelyezkedő statisztikus fizika rövid és szemérmetlenül leegyszerűsített történetével!
Sok kicsi sokra megy
Jó másfél évszázaddal ezelőtt a fizikusok elkezdtek azon gondolkodni, hogy ha az anyagok valóban igen apró részecskék sokaságából állnak, akkor ezek viselkedéséből talán lehetne következni az anyag fizikai jellemzőire. Hamar rájöttek, hogy míg néhány tucat részecske mozgásának együttes leírása kiábrándítóan nehéz feladat, ha sokmilliárdszor milliárd részecskét tekintenek, ezek viselkedése összességében mutat bizonyos szabályszerűségeket – ezeket vizsgálja a statisztikus fizika tudománya.
Hogy mondjunk valami konkrét példát is: ha egy gázzal teli tartály falát egy képzeletbeli nagyítóval megnéznénk, azt látnánk, hogy itt-ott gázmolekulák csapódnak neki. E látszólag véletlenszerű ütközések összessége viszont egy állandó, teljesen jól mérhető hatást ad: a gáz nyomást fejt ki a tartály falára.
Kísért a részecskemúlt
A statisztikus fizikusok azonban a kezdetektől tudatában voltak egy nyomasztó problémának. Számításaikban mindig feltételezték, hogy például egy gázzal teli tartályban a gázmolekulák bizonyos értelemben véletlenszerűen mozognak. Azonban tudjuk jól, hogy ez a mozgás egyáltalán nem véletlenszerű.
Képzeljük el, hogy egy 1 köbméteres, üres tartályba belehelyezünk egy kisebb, levegővel teli edényt. Ha most felnyitjuk ezt az edényt, a benne található levegő azonnal kiszökik, és hamarosan egyenletesen kitölti a nagyobb tartályt. Megmérhetjük most a tartály falára ható nyomást, különböző kísérleteket végezhetünk a levegő hőmérsékletének változtatásával, és mindent úgy találunk, ahogy az a fizikatankönyvekben leírva áll.
Ludwig Boltzmann, a statisztikus fizika atyja Forrás: Wikimedia CommonsA levegőmolekulák látszólag ugyan véletlenszerűen mozognak, azonban ez egyáltalán nincs így: ha egymással vagy a fallal találkoznak, a (rugalmas) ütközés teljesen kiszámíthatóan megy végbe. Ha pedig egyetlen ütközésnél sem veszett el információ, a rendszer története bármelyik időponttól visszakövethető a kiindulási állapotig. Vagyis, a nagy tartályban levő molekulák rendszere az idők végezetéig „emlékezni fog” arra, hogy volt egy pillanat, amikor minden levegőmolekula abba a bizonyos kezdeti kis edénybe volt kényszerítve.
Másrészről lehetnek olyan speciális kiindulóhelyzetek, amikor a részecskék egyáltalán nem viselkednek véletlenszerűen – gondoljunk csak egy biliárdasztalon megfelelő szögben ellőtt golyóra, mely ugyanazon az egyszerű pályán pattog körbe-körbe a végtelenségig.
A nagy kérdés az volt, hogy „múlt terhe” mellett eléggé véletlenszerűen tud-e viselkedni egy ilyen sok részecskéből álló rendszer, és a fenti speciális helyzetek elhanyagolható mértékben vannak-e jelen. A fizikusok – Boltzmann-nal az élen – nem sokat teketóriáztak: egyszerűen feltételezték, hogy így van (ezt nevezik ergodikus hipotézisnek), és a kísérletek, no meg a számítások eredményei őket igazolták.
Mi az, hogy „eléggé véletlenszerű”? (csak erős idegzetűeknek)
Képzeljük el, hogy minden, a rendszerben részt vevő részecskének leírjuk a koordinátáit és a sebességét szépen egymás után (mivel a sebességnek térbeli iránya is van, ezt is három koordináta határozza meg). Ha N részecskénk van, akkor kapunk egy 6N számból álló sorozatot. Ez pedig nem más, mint egyetlen pont koordinátája a 6N dimenziós térben – ezt hívják a rendszer fázisterének.
Ízlelgessük ezt a mondatot. Aki ezt helyre tudja rakni a fejében, az legalábbis egy baráti vállveregetésre számíthat a statisztikus fizikusok társaságában, így hát érdemes!
Innen már szinte pofonegyszerű a dolog. Ahogy rendszerünk részecskéi ütköznek egymással, folyamatosan változik a helyzetük és a sebességük, így a rendszerhez tartozó pont szépen lassan vándorol a fázistérben. (Természetesen a megmaradási tételek által meghatározott tartományon belül.)
Ha hosszú időn át figyeljük ezt a bizonyos fázistérbeli pontot, az általa bejárt pálya bonyolultan tekergőzik ebben sokdimenziós térben. Mit jelent hát az „eléggé véletlenszerű”? Nos, a statisztikus fizikusokat nem érdekli, hogy merre vándorol egy bizonyos rendszer pontja a fázistérben, csak az, hogy bármilyen térrészt is válasszanak ki, hosszú időre átlagolva a rendszerek túlnyomó többsége ugyanannyi időt töltsön ebben a térrészben.
Lényegében tehát azt szeretnék, hogy egy, tetszőlegesen kiválasztott kezdőpontból induló rendszer hosszú időtávon tekintve leírja az összes többi rendszer viselkedését is.
Kínkeserves biliárdjáték
A matematikusokat viszont nem hagyta nyugodni a kérdés, szerették volna szigorú, matematikai eszközökkel bizonyítani, hogy a feltételezés valóban teljesül rugalmasan ütköző részecskék rendszerére. Sajnos azonban a matematika tudományának megvan az a kellemetlen tulajdonsága, hogy sokszor pofonegyszerűen felvethető kérdésekre is rettentő nehéz választ találni. (Gondoljunk csak Fermat tételére, melyet egy általános iskolás tanuló is könnyedén megért, a bizonyítására viszont csaknem négyszáz évet kellett várni.)
Forrás: Flickr/Fotios LindiakosA huszadik század hetvenes éveire sikerült odáig eljutni, hogy 2, azaz két darab rugalmasan ütköző korong „rendszerére” igazolta – a 2014-ben Abel-díjjal kitüntetett – Jakov Grigorjevics Szináj Boltzmann eredeti feltételének teljesülését. Újabb tizenhét év kellett hozzá, hogy két, térben mozgó golyóra is igazolják. Szász Domokos és tanítványainak munkája vezetett el végül oda, hogy 2013-ra Simányi Nándornak sikerült pontot tenni a történet végére: valóban tetszőleges számú részecske rendszerére igazolták a feltételezést – ráadásul ezek a részecskék immár akárhány dimenziósak lehetnek. Hát igen, ha a matematika egyszer beindul…
Váratlan kapcsolatok
De vajon miért annyira érdekes, hogy az a sokmilliárd golyó kellően véletlenszerűen pattog vagy sem, ha egyszer a fizikusok a jelek szerint nagyon jól elvoltak vagy másfél évszázadig a precíz, matematikai alapok nélkül? Nos, az egyik, és egyáltalán nem lekicsinylendő válasz, hogy egy pontos matematikai tétel sokszor igen mély tudást ad egy rendszerről, egy problémáról, és ez a mély tudás később másutt is használható. Kiderült például, hogy a fizikában megismert dinamikai rendszerekhez hasonlóan véletlen pénzügyi modellek egyre-másra felbukkannak a közgazdaságtanban, és a két, látszólag távoli terület között a szigorú matematikai alapok teremtenek kapcsolatot.
A szóban forgó tudományterület „econophysics” néven mára komoly ismertséget szerzett – sokan felismerték azt is, hogy a piac szereplőinek apró mozgásai és a nagy trendek közti kapcsolat jellemzőinek ismerete dollárokban mérhető tudást jelenthet.
Vihar egy csésze kávéban
A másik izgalmas szál, hogy a dinamikai rendszerek matematikai vizsgálata közelebb visz a kaotikus folyamatok megértéséhez. Az ilyen folyamatok alapvető jellemzője, hogy igen érzékenyek a kiindulópontra, vagyis akármilyen közeli kiindulási helyzeteket is adjunk meg, a két rendszer viselkedése hamar elválik egymástól. Ilyen jellegű folyamatoknak köszönhetjük, hogy képesek vagyunk elkeverni a kávéban a tejet, ugyanakkor e folyamatok tulajdonságai nehezítik meg, hogy viszonylag pontosan lássuk a következő hétvége időjárását.
Forrás: Youtube/UltraProQQQ
Nagyszerű példa erre, hogy a légköri folyamatok egyik legegyszerűbb modellje, a Lorenz-rendszer megértésénél is segíthet az úgynevezett Szinaj-biliárd, mely a már említett Szinajról kapta a nevét. A nevezetes díj átadása alkalmából Szász Domokos tartotta Oslóban az ún. Science Lecture-t, melynek videófelvétele itt érhető el.
A mostani, születésnapi konferencia résztvevői a matematikusok szokásrendjének megfelelően nem hallhatnak előadást az ünnepelttől, azonban tanítványai közül Erdős László (IST, Ausztria), Nándori Péter (University of Maryland), Pajor-Gyulai Zsolt (New York University), Simányi Nándor (University of Alabama), Tóth Bálint (BME és Bristol University) jelen vannak az előadók között. A születésnapi konferencia a bécsi Erwin Schrödinger Institute for Mathematical Physics-ben tartott hathetes program záróeseménye. A program szervezői között ugyancsak vannak korábbi tanítványok: Bálint Péter (BME) és Tóth Imre (BME). Utóbbi az elmúlt héten tartott előadást Bálint Péterrel, Nándori Péterrel és Szász Domokossal közös kutatásukról, amelynek témája Fourier hővezetési törvényének matematikai megalapozásával kapcsolatos.
A konferencia részletes programja itt érhető el.
