MTA Székház, Kisterem 1051 Budapest, Széchenyi István tér 9.
Részletek
A függvényegyenletek elméletében az alapvető egyenletetekkel – pl. Cauchy-egyenlet, Fréchet-egyenlet, monom egyenlet – kapcsolatban régóta ismert a következő regularitási alternatíva: az egyenletek megoldásai vagy nagyon regulárisak (végtelen sokszor differenciálhatók), vagy nagyon irregulárisak (pl. Lebesgue-szerint nem mérhetők). Más szóval az említett egyenletek megoldásának legcsekélyebb regularitását (pl. Lebesgue-mérhetőség) feltéve ebből a megoldások végtelen sokszori differenciálhatósága következik. Ez sokszor lehetővé teszi a függvényegyenletek differenciálegyenletekre való redukcióját és így az ismeretlen függvények meghatározását. A függvényiterációt nem tartalmazó függvényegyenletek tág osztályára vonatkozóan az elmúlt években Járai Antal ért el hatékony általános eredményeket. Egészen más a helyzet a függvényiterációt is tartalmazó egyenletekkel kapcsolatban, ezeknek még nincs általános elmélete, de már számos módszer és eszköz született a megoldások erősebb regularitási tulajdonságának igazolására. Az egyik ilyen módszer lényege a megoldások monotonitását és folytonosságát feltételezve, majd Lebesgue-nek a monoton függvények majdnem mindenütti differenciálhatóságára vonatkozó tételét akár többször is alkalmazva a megoldások mindenütti és magasabb rendű differenciálhatóságának igazolása. Egy másik eljárás lényege a monotonitásból kiindulva konvexitási, vagy magasabb rendű konvexitási tulajdonságok igazolása és a regularitási tulajdonságoknak ezekből való származtatása. Az előadásban néhány konkrét függvényegyenlet (pl. a kvázi-aritmetikai közepek invariancia egyenlete, kvázi-összegek dekompozíciós egyenlete, közepek egyenlőség-problémája) segítségével mutatjuk be a regularitás-javító eljárások legfontosabb lépéseit, majd a megoldásokra nyert differenciálegyenleteket.
