Chain Bridge

Buczolich Zoltán: A gradiensproblémától a négyzetek mentén vett ergodikus közepekig – székfoglaló előadás

18 January 2023 | AM 11:00

MTA Székház, Nagyterem
1051 Budapest, Széchenyi István tér 9.

A magyarországi matematikai iskola erős problémamegoldó hagyományainak megfelelően előadásomban két olyan igen nehéznek bizonyuló, matematikai analízisbeli kérdésről szeretnék szólni, melyek megválaszolása nagyban hozzájárult akadémikussá történő megválasztásomhoz.

Az első C. E. Weil gradiensproblémája volt, mely az 1960-as évekből származott. Én 1987-ben hallottam róla először. Egyváltozós függvények deriváltfüggvényei rendelkeznek az úgynevezett Denjoy–Clarkson-tulajdonsággal, ez nagyjából azt jelenti, hogy ha a derivált valamilyen értéket felvesz, akkor viszonylag nagy, pozitív Lebesgue-mértékű halmazon fölvesz ehhez közeli értékeket. A gradiensprobléma ennek magasabb dimenziós általánosítására vonatkozott.

Végül 16 évnyi (nem folyamatos) gondolkodás után, 2003-ban sikerült egy kétdimenziós ellenpéldát találnom, azaz sikerült megadnom egy olyan felületet, melynek minden pontjában van érintősíkja, van olyan pont, ahol az érintősík vízszintes, viszont igen kicsi, Lebesgue null mértékű halmaztól eltekintve a felület meredek, azaz gradiensének abszolút értéke nagy.

Ezt követően 2003-ban Daniel Mauldin javaslatára egy Texasban töltött félév során kezdtem vele együttműködve dolgozni Jean Bourgain egy híres ergodelméleti kérdésén.

Az ergodelmélet kialakulását a statisztikus fizika motiválta.

A matematikán belül számos néha igen meglepő területen használtak fel ergodelméleti módszereket. Ilyen például Hillél Fürstenberg ergodemléleti bizonyítása a Szemerédi-tételre.

Boltzmann ergodikus hipotézise nagy vonalakban azt mondja ki, hogy egy rendszerben a tér- és időátlagok megegyeznek. Ennek pontosabb matematikai megfogalmazásait adják Neumann János és Garrett Birkhoff ergodtételei. Ezek motiváltak különböző, Birkhoff-féle „időátlagok” konvergenciájára vonatkozó kutatásokat.

Jean Bourgain megmutatta, hogy ha a függvényünk nem növekszik túlságosan gyorsan, azaz még p>1-re a függvény p-edik hatványa is integrálható, és az időátlagokat nem minden egész „időpillanatban” történő méréseken alapulva, hanem csak a négyzetszámoknak megfelelő időpillanatokat használva készítjük, akkor a megfelelő Birkhoff-átlagok konvergensek maradnak.

Birkhoff eredeti ergodtételében csak integrálhatóságot tett fel, így a Bourgain által vizsgált esetben is természetesen adódott a kérdés, hogy vajon mit mondhatunk, ha csak integrálhatóságot (p=1) teszünk föl.

Daniel Mauldinnal közös cikkünkben, mely az Annals of Mathematicsban jelent meg, sikerült ellenpéldát adni. Az ellenpélda konstruálása közben kulcsfontosságúak voltak számelméleti, kvadratikus maradékok véletlenszerű eloszlására vonatkozó tételek.

Felhívjuk szíves figyelmüket, hogy az előadásról kép- és hangfelvétel készül, részvételével egyben hozzájárul nyilvános publikálásukhoz.

Szervező

MTA Matematikai Tudományok Osztálya

Kapcsolattartó

Koroknai Levente

Contact

emailme@web.com

+00 00 1234 123