Geometria versus algebra az algebrai topológiában – Szűcs András rendes tag székfoglaló előadása

A homológia az algebrai topológiának talán a legfontosabb eszköze. Poincaré eredeti ötlete a homológiák megalkotására az volt, hogy részsokaságokat vizsgált a mai kobordizmus fogalmának megfelelő ekvivalenciareláció erejéig. Aztán ezt a nagyon szemléletes, geometriai utat elvetette, és megalkotta a szimpliciális homológiák precízen tárgyalható, de kevésbé szemléletes, algebrai fogalmát. Nyitva maradt az a kérdés, hogy mennyire tér el ez a realizált algebrai út az eredeti geometriaitól. Ezt részben megválaszolta René Thom Fields-érmes munkájában, nevezetesen megmutatta, hogy mindig lehet egy homológiaosztályt egy sokaság folytonos képeként előállítani.

Szűcs András Fotó: mta.hu/Szigeti Tamás

Képgaléria a székfoglaló előadásrólAzonban még mindig nyitva maradt az, hogy mennyire lehet a homológiaosztályt realizáló folytonos leképezést szépnek választani. Ha például szingularitásmentesnek lehetne választani, akkor az tényleges visszatérést jelenthetne Poincaré eredeti geometriai elképzeléséhez. Az előadó Mark Grant, fiatal angol matematikussal közös cikkében (2013, Bulletin of London Math. Soc.) megmutatta, hogy a válasz nemleges:

Tétel:

Minden egynél nagyobb k természetes számhoz létezik olyan k kodimenziós homológiaosztály egy kb. 4k dimenziós sokaságban, mely nem realizálható szingularitásmentes leképezéssel. Sőt be kell látni, hogy akárhogyan adunk is meg egy véges listát k kodimenziós leképezések multiszingularitásaiból, mindig létezik olyan k kodimenziós homológiaosztály valamilyen sokaságban, mely nem realizálható olyan leképezéssel, melynek multiszingularitásai e listáról valók.

Szűcs András ez utóbbi állítás kapcsán vázolta a szinguláris leképezések kobordizmuselméletét. Ez az ún. Pontrjagin–Thom-konstrukció kiterjesztése beágyazásokról szinguláris leképezésekre. Eredetileg Lev Pontrjagin ezt mint egy igen szemléletes, geometriai eszközt alkalmazta az algebrai topológia egy másik nagyon fontos fogalmának, a gömbök homotopikus csoportjainak kiszámolására. Később Thom ezt a kapcsolatot megfordította, és ez lehetővé tette a sokaságok kobordizmuscsoportjainak algebrai eszközökkel való kiszámítását. A konstrukció kiterjesztése a szinguláris leképezésekre (ami az előadó tevékenységének legfőbb tárgya volt) a globális szingularitáselmélet segítségével történik.

A globális szingularitáselméletről:

A differenciálható sokaságok szinguláris leképezéseit vizsgálva, ezek megértésének három szintje van:

1. A szingularitások lokális osztályozása (ez egy pont környezetében írja le a leképezést)
2. A fellépő szingularitások automorfizmus-csoportjainak a leírása (ez egy sztrátum környezetében írja le a leképezést; sztrátum = az azonos lokális szingularitású pontok halmaza)
3. A különböző sztrátumok kapcsolódása (ez azt írja le, hogyan csavarodik egy egyszerűbb sztrátum a bonyolultabb szingularitás sztrátuma körül).

E lépések eredményeként megkonstruálható egy klasszifikáló tér, melynek segítségével a szinguláris leképezések vizsgálata a homotópiaelméletre redukálódik. Míg az első két szintet már klasszikusok vizsgálták, addig a harmadikkal kapcsolatban nem voltak eredmények, és nem voltak klasszifikáló térkonstrukciók sem. Az sem volt világos, hogy hogyan lehet a sztrátumok kapcsolódásának kérdését precíz matematikai formába önteni. Szűcs András Terpai Tamással közös (még meg nem jelent) cikkében ezt a kapcsolódást gömbök stabil homotopikus csoportjainak elemeivel jellemezte, és meglepő tulajdonságokat bizonyított e homotopikus csoport elemeiről.